Question

1．如圖所示，將底面半徑為2R的圓柱形薄壁容器放在水平桌面上，把高為h，密度為ρ（ρ＜ρ_水），半徑為R的實心圓柱體木塊豎直放在容器中，然后向容器內注水，則（　　）

• A． 注水前，木塊對容器底的壓力為ρgh
• B． 注水前，木塊對容器底的壓強為πR²ρh
• C． 若使木塊豎直漂浮，向容器中注入水的質量至少為πR²ρh
• D． 若使木塊豎直漂浮，向容器中注入水的質量至少為3πR²ρh

Answer 1

分析 （1）知道木塊的底面積和高，求出木塊的體積，知道木塊的密度，利用m=ρV求木塊的質量，利用G=mg求木塊的重力，木塊對容器底的壓力等于木塊的重力；
（2）知道受力面積，利用壓強公式p=$\frac{F}{S}$求木塊對容器底的壓強；
（3）若使木塊豎直漂浮，注入水的質量最少，即木塊與容器底接觸且木塊對容器底的壓力恰好為零，此時木塊所受的浮力等于自身的重力；根據公式F_浮=ρgV_排可求木塊排開水的體積；從而求出木塊浸入水中的深度；根據公式V=Sh可求注入水的體積；根據公式m=ρV可求注入水的質量．

解答 解：（1）木塊的體積：
V=Sh，
木塊的質量：
m=ρV=ρSh，
木塊的重力：
G=mg=ρShg，
木塊對容器底的壓力：
F=G=mg=ρShg，故A錯；
（2）木塊對容器底的壓強：
p=$\frac{F}{S}$=$\frac{ρShg}{S}$=ρhg，故B錯誤；
（3）當木塊與容器底接觸且木塊對容器底的壓強恰好為零時，此時注入水的質量最少，
F_浮=G=mg=ρπR²hg，
木塊排開水的體積：
V_排=$\frac{{F}_{浮}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{ρπ{R}^{2}gh}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{ρπ{R}^{2}h}{{ρ}_{水}}$，
木塊浸入水中的深度：
h_水=$\frac{\frac{ρπ{R}^{2}h}{{ρ}_{水}}}{{S}_{木}}$=$\frac{\frac{ρπ{R}^{2}h}{{ρ}_{水}}}{π{R}^{2}}$=$\frac{ρh}{{ρ}_{水}}$，
注入水的體積為：
V_水=（S_容-S_木）h_水=[π（2R）²-πR²]×$\frac{ρh}{{ρ}_{水}}$=3πR²$\frac{ρh}{{ρ}_{水}}$，
注入水的質量：
m_水=ρ_水V_水=ρ_水3πR²$\frac{ρh}{{ρ}_{水}}$=3πR²ρh，故C錯誤、D正確．
故選D．

點評 本題為力學綜合題，考查了學生對密度公式、重力公式、壓強公式、阿基米德原理、物體的漂浮條件的掌握和運用，難點在第三問，知道要使木塊豎直漂浮，注入水的質量最少，木塊與容器底接觸且木塊對容器底的壓力恰好為零，是本題的關鍵．