Question

11．如圖，一個底面積為100cm²，質量和壁厚均忽略不計的圓柱形溢水杯放在水平地面上，內裝960g液體（液體在圖中未畫出）．把一個質量為135g、密度為0.9g/cm³的小球輕輕放入溢水杯中，小球靜止后，測得從溢水杯中溢出50cm³液體，溢水杯內剩余液體和小球的總質量為1055g．（g=10N/kg）求：
（1）放入小球前，溢水杯對水平地面的壓強；
（2）液體的密度是多少g/cm³？
（3）小球在溢水杯的液體中靜止時受到的浮力；
（4）放入小球后，液面高度變化了多少cm？

Answer 1

分析 （1）知道小球的質量和密度，根據ρ=$\frac{m}{V}$可求小球的體積，然后與溢出液體的體積相比較確定放入小球前液體沒有溢出，溢水杯對水平地面的壓力和自身的重力相等，根據F=G=mg求出其大小，再根據p=$\frac{F}{S}$求出溢水杯對水平地面的壓強；
（2）小球的質量加上液體的總質量然后減去溢水杯內剩余液體和小球的總質量即為溢出液體的質量，又知道溢出液體的體積，根據ρ=$\frac{m}{V}$求出液體的密度；
（3）求出液體的密度，然后與小球的密度相比較確定靜止時小球在液體中沉底，排開液體的體積和自身的體積相等，根據阿基米德原理求出小球受到的浮力；
（4）知道液體的質量和密度可求液體的總體積，V_排不僅包含了上升的體積還包括溢出液體的體積，故可求放入小球后容器內小球和水的總體積，又知容器面積，分別計算原來的深度和現在的深度，進而可求放入小球后液面高度的變化．

解答 解：（1）由ρ=$\frac{m}{V}$可得，小球的體積：
V_球=$\frac{{m}_{球}}{{ρ}_{球}}$=$\frac{135g}{0.9g/c{m}^{3}}$=150cm³，
因V_球=150cm³＞V_溢=50cm³，
所以，放入小球前，溢水杯中液體沒有溢出，
溢水杯對水平地面的壓力：
F=G_液=m_液g=960×10^-3kg×10N/kg=9.6N，
溢水杯對水平地面的壓強：
p=$\frac{F}{S}$=$\frac{9.6N}{100×1{0}^{-4}{m}^{2}}$=960Pa；
（2）小球放入溢水杯后，排開液體的質量：
m_溢=m_球+m_液-m_總=960g+135g-1055g=40g，
液體的密度：
ρ_液=$\frac{{m}_{溢}}{{V}_{溢}}$=$\frac{40g}{50c{m}^{3}}$=0.8g/cm³，
（3）因ρ_液=0.8g/cm³＜ρ_球=0.9g/cm³，
所以，小球靜止時在液體中沉底，
則V_排=V_球=150cm³，
小球受到的浮力：
F_浮=ρ_液gV_排=0.8×10³kg/m³×10N/kg×150×10^-6m³=1.2N；
（4）液體的總體積：
V_液=$\frac{{m}_{液}}{{ρ}_{液}}$=$\frac{960g}{0.8g/c{m}^{3}}$=1200cm³，
原來的深度h=$\frac{{V}_{液}}{S}$=$\frac{1200c{m}^{3}}{100c{m}^{3}}$=12cm，
放入小球后，上升的體積V_升=V_排-V_溢=150cm³-50cm³=100cm³，
則放入小球后的總體積，V_總=1200cm³+100cm³=1300cm³，
現在的深度h′=$\frac{{V}_{總}}{S}$=$\frac{1300c{m}^{3}}{100c{m}^{2}}$=13cm，
所以放入小球后，液面高度變化△h=h′-h=13cm-12cm=1cm．
答：
（1）放入小球前，溢水杯對水平地面的壓強為960Pa；
（2）液體的密度是0.8g/cm³；
（3）小球在溢水杯的液體中靜止時受到的浮力為1.2N；
（4）放入小球后，液面高度變化了1cm．

點評 本題考查了密度公式、重力公式、固體壓強公式、阿基米德原理的應用，判斷出容器中放入小球前液體沒有溢出和放入小球后溢出液體的質量是關鍵．