Question

如圖1，一根長為20cm，橫截面積為10cm²的均勻木桿用細線和彈簧測力計豎直懸掛起立，置于燒杯內水平面上方．現將燒杯豎直緩緩提升，木桿逐漸浸入水中，已知木桿的密度為ρ₁=0.8×10³kg/m³，水的密度為ρ=1.0×10³kg/m³
（1）當彈簧測力計讀數為1.2N時，求木桿浸入水中的長度．
（2）繼續緩慢提升燒杯，當木桿浸入水中一定深度時，開始出現傾斜，當木桿再次靜止時，木桿與豎直方向成30°角，如圖2所示，求木桿浸入水中的長度．（忽略木桿橫截面積的影響）

Answer 1

【答案】分析：（1）知道木桿長和橫截面積，可求木桿的體積；又知道木桿的密度，利用G=mg=ρVg求木桿的重力；而木桿的浮力加上拉力（彈簧測力計讀數）等于木桿的重力，據此求木桿受到的浮力，再利用阿基米德原理求木桿浸入的長度；（2）設木桿長為L，此時木桿浸入的長度為h，如圖，木桿受水的浮力的作用點在D（浸入部分的中點），其力臂為OA；木塊受到重力的作用，作用點在C點（木桿的中點），其力臂為OB，由于杠杠平衡，可得：F_浮′×OA=G×OB，將已知條件代入解方程求得h的大小．
解答：解：
（1）木桿的體積：
V=Sh=10cm²×20cm=200cm³=2×10^-4m³，
木桿的重力：
G=mg=ρ₁Vg=0.8×10³kg/m³×2×10^-4m³×10N/kg=1.6N，
當彈簧測力計讀數F_示=1.2N時，木桿受到的浮力：
F_浮=G-F_示=1.6N-1.2N=0.4N，
∵F_浮=ρV_排g=ρSL_浸g，
∴木桿浸入的長度：
L_浸===0.04m=4cm；
（2）設木桿長為L，此時木桿浸入的長度為h，如右圖，
木桿受到水的浮力，作用點在D（浸入部分的中點），其力臂OA=（L-h）sin30°，
木塊受到重力的作用，作用點在C點（木桿的中點），其力臂OB=Lsin30°，
由于杠杠平衡條件可得：
F_浮′×OA=G×OB，
即：F_浮′×（L-h）sin30°=G×Lsin30°，
而F_浮′=ρV_排′g=ρShg，
G=ρ₁Vg=ρ₁SLg，
sin30°=，
代入得：
ρShg×（L-h）×=ρ₁SLg×L×，
再代入已知條件：L=20cm，ρ₁=0.8×10³kg/m³=0.8g/cm³，ρ=1.0×10³kg/m³=1g/cm³，
1g/cm³×Shg×（20cm-h）×=0.8g/cm³×S×20cm×g×20cm×，
1g/cm³×h×（20cm-h）=0.8g/cm³×20cm××20cm，
h²-40h+320=0，
解得：
h=≈29cm（大于20cm，舍去），h=≈11cm．
答：（1）當彈簧測力計讀數為1.2N時，木桿浸入水中的長度為4cm；
（2）繼續緩慢提升燒杯，當木桿浸入水中一定深度時，開始出現傾斜，當木桿再次靜止時，木桿與豎直方向成30°角，木桿浸入水中的長度為11cm．
點評：本題考查了學生對杠杠平衡條件、重力公式、密度公式、阿基米德原理的掌握和運用，難點在第二問，能畫圖確定浮力和重力的力臂是本題的關鍵．