Question

1．問題解決--測量小琉璃球的密度
小雨有若干個相同的小琉璃球，他想知道小琉璃球的密度．他身邊只有一個有杯蓋的玻璃杯（粗細均勻）、一個盛著足夠水的水桶和一把刻度尺．
（1）說明測量步驟．（配圖說明，圖畫在方框內）；
（2）請你幫他推導出測量小琉璃球密度的數學表達式．

Answer 1

分析 沒有天平和量筒，可以利用漂浮條件F_浮=G得到物體重力從而得到質量，利用排水法測物體的體積，從而得到物體的密度．

解答 解：
（1）測量步驟：
①將玻璃杯中裝入適量的水，測出杯水的深度h₁；
②將玻璃杯放入桶里的水中，使其能豎直漂浮在水面上，用刻度尺測出玻璃杯浸入水中的深度h₂；
③取出玻璃杯，將琉璃球放入玻璃杯中，測出杯中水的深度h₃；
④將玻璃杯放入桶里的水中，使其能豎直漂浮在水面上，用刻度尺測出玻璃杯浸入水中的深度h₄．

（2）推導小琉璃球密度的數學表達式：
由①③可得琉璃球體積：V=S_杯（h₃-h₁），
由②可得杯和杯中水重G₁=F_浮1=ρ_水gV_排1=ρ_水gS_杯h₂，
由④可得杯和杯中水以及琉璃球總重G₂=F_浮2=ρ_水gV_排2=ρ_水gS_杯h₄，
琉璃球的重力：G=G₂-G₁=ρ_水gS_杯h₄-ρ_水gS_杯h₂=ρ_水gS_杯（h₄-h₂），
所以琉璃球的密度：ρ=$\frac{m}{V}$=$\frac{G}{Vg}$=$\frac{{ρ}_{水}g{S}_{杯}（{h}_{4}-{h}_{2}）}{{S}_{杯}（{h}_{3}-{h}_{1}）g}$=$\frac{{h}_{4}-{h}_{2}}{{h}_{3}-{h}_{1}}$•ρ_水．
故答案為：
（1）步驟：
①將玻璃杯中裝入適量的水，測出杯水的深度h₁；
②將玻璃杯放入桶里的水中，使其能豎直漂浮在水面上，用刻度尺測出玻璃杯浸入水中的深度h₂；
③取出玻璃杯，將琉璃球放入玻璃杯中，測出杯中水的深度h₃；
④將玻璃杯放入桶里的水中，使其能豎直漂浮在水面上，用刻度尺測出玻璃杯浸入水中的深度h₄．
（2）ρ=$\frac{{h}_{4}-{h}_{2}}{{h}_{3}-{h}_{1}}$•ρ_水．

點評 本題考查了密度測量的設計，測密度就是要想辦法得到物體的質量和體積，關鍵是巧妙利用杯子漂浮時浮力等于重力間接得到琉璃球的重力．有一定難度．