Question

11．在面積很大的游泳池水面上漂浮著一邊長為1米的正方體均勻木塊，開始時木塊靜止，如圖甲所示．現用力F將木塊勻速向下壓，力F隨著木塊浸沒水中深度H的變化關系如圖乙所示．求：
（1）正方體木塊的密度為多少？
（2）木塊勻速下沉過程中，力F的最大值為多少？
（3）木塊開始下沉到恰好完全浸沒的過程中，請通過計算判斷：木塊的重力對木塊做的功和力F對木塊做的功是否相等．

Answer 1

分析 ①知道立方體木塊的邊長求出木塊的體積，由圖可知H=$\frac{3}{4}$a時施加的壓力為零，根據體積公式求出排開水的體積，根據物體漂浮時受到的浮力和自身的重力相等以及阿基米德原理得出等式即可求出木塊的密度；
②物體浸沒時排開水的體積和自身的體積相等，根據阿基米德原理求出木塊受到的浮力，當木塊全部沒入水后中勻速下沉過程中，木塊受到的浮力等于木塊重加上手對木塊的壓力，據此求出手對木塊的最大壓力；
③木塊開始下沉到恰好浸沒的過程中，由圖可知物體重心下降$\frac{1}{4}$a，根據W=Gh求重力所做的功，根據面積公式算出F做的功．

解答 解：（1）木塊的體積V_木=a³=1m³
由圖可知，木塊底面深度H=$\frac{3}{4}$a時，壓力F=0，則木塊浸在水中的體積：
V_排=a×a×$\frac{3}{4}$a=$\frac{3}{4}$a³，
最初木塊處于漂浮狀態，由F_浮=ρ_水gV_排和F_浮=G=mg=ρVg可得：
F_浮=ρ_水gV_排=ρ_木V_木g，即ρ_水g$\frac{3}{4}$a³=ρ_木a³g，
解得：ρ_木=$\frac{3}{4}$ρ_水=$\frac{3}{4}$×10³kg/m³=0.75×10³kg/m³．
（2）木塊的質量為：m=ρ_木V=0.75×10³kg/m³×1m×1m×1m=750kg，
因物體浸沒時排開水的體積和自身的體積相等，
所以，木塊完全浸沒后的浮力：
F_浮′=ρ_水gV_排′=ρ_水gV_木=$\frac{4}{3}$ρ_木gV_木=$\frac{4}{3}$mg=$\frac{4}{3}$×750kg×10N/kg=10000N，
因木塊浸沒時受到豎直向上的浮力和豎直向下的重力、壓力，
所以，由力的平衡條件可得，手對木塊的壓力（最大壓力）：
F_壓大=F_浮′-G_木=$\frac{4}{3}$mg-mg=$\frac{1}{3}$mg=$\frac{1}{3}$×750kg×10N/kg=2500N；
（3）木塊開始下沉到恰好浸沒的過程中，由圖乙可知物體重心下降$\frac{1}{4}$a，
則重力對木塊做功：
W=G_木h=mg×$\frac{1}{4}$a=$\frac{1}{4}$mga=$\frac{1}{4}$×750kg×10N/kg×1m=1875J；
木塊開始下沉到恰好浸沒的過程中，勻速下壓，壓力均勻增大，下壓的距離h=a-$\frac{3}{4}$a=$\frac{1}{4}$a，
則力F對木塊做的功：
W_F=$\frac{1}{2}$F_壓大h=$\frac{1}{2}$F_壓大×$\frac{1}{4}$a=$\frac{1}{8}$F_壓大a=$\frac{1}{8}$×$\frac{1}{3}$mga=$\frac{1}{24}$mga=$\frac{1}{24}$×750kg×10N/kg×1m=312.5J，
故木塊的重力對木塊做的功和力F對木塊做的功不相等．
答：（1）正方體木塊的密度為0.75×10³kg/m³．
（2）木塊勻速下沉過程中，力F的最大值為2500N．
（3）木塊的重力對木塊做的功和力F對木塊做的功不相等．

點評 本題考查了重力的計算公式、密度的計算公式、阿基米德原理、物體的浮沉條件等知識，是一道難題．