Question

2．在一個底面積400cm²足夠深的柱形容器內裝有深8cm的水，容器的質量為0.8kg，將一個長10cm，橫截面積50cm²圓柱形實心塑料塊掛于彈簧秤上，當塑料塊的底面剛好接觸水面時，如圖所示，此時彈簧秤示數為3N，已知彈簧的形變量與受到的拉力成正比，即彈簧受到1N的拉力時伸長1cm．求：
（1）此時水對容器底部的壓強；
（2）此時容器對水平桌面的壓強；
（3）若往容器內緩慢加水，當彈簧測力計示數剛好變為0時，所加水的質量．

Answer 1

分析 （1）已知水的深度和密度，利用p=ρgh計算此時水對容器底部的壓強；
（2）求出水的體積，利用ρ=$\frac{m}{V}$求出水的質量，利用G=mg求出容器和水的總重力，容器對水平桌面的壓力等于容器和水的重力之和，又知受力面積，利用p=$\frac{F}{S}$計算此時容器對水平桌面的壓強；
（3）根據題意可得當彈簧測力計示數剛好變為0時，塑料塊受到的浮力，然后根據F_浮=ρ_水gV_排可求此時塑料塊排開水的體積，進而可求塑料塊浸入水中的深度，需加水的體積等于物體下面增加水的體積加上物體下表面以上水的體積，再利用ρ=$\frac{m}{V}$可求需加水的質量．

解答 解：（1）此時水對容器底部的壓強：
p=ρgh=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.08m=800Pa；
（2）水的體積V_水=S_容h=400cm²×8cm=3200cm³=0.0032m²，
根據ρ=$\frac{m}{V}$可得水的質量：
m_水=ρ_水V_水=1.0×10³kg/m³×0.0032m²=3.2kg，
則容器對水平桌面的壓力：
F=G=（m_水+m_容）g=（3.2kg+0.8kg）×10N/kg=40N，
此時容器對水平桌面的壓強：
p=$\frac{F}{S}$=$\frac{40N}{400×1{0}^{-4}{m}^{2}}$=1000Pa；
（3）由題意知，圓柱形實心塑料塊的重力為G_塑料=3N，
若往容器內緩慢加水，當彈簧測力計示數剛好變為0時，塑料塊受到的浮力F_浮=G_塑料=3N，
根據F_浮=ρ_水gV_排可得，此時塑料塊排開水的體積：
V_排=$\frac{{F}_{浮}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{3N}{1×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=3×10^-4m³，
則塑料塊浸入水中的深度：h=$\frac{{V}_{排}}{{S}_{塑料}}$=$\frac{3×1{0}^{-4}{m}^{3}}{5×1{0}^{-3}{m}^{2}}$=0.06m，
彈簧受到1N的拉力時伸長1cm，
此時彈簧秤示數為3N，
所以，物體上升高度h′=3cm=0.03m，
所以需加水的體積：V_加水=S_容h′+（S_容-S_塑料）h=4×10^-2m²×0.03m+（4×10^-2m²-5×10^-3m²）×0.06m=3.3×10^-3m³，
根據ρ=$\frac{m}{V}$可得，需加水的質量：m_加水=ρ_水V_加水=1.0×10³kg/m³×3.3×10^-3m³=3.3kg．
答：（1）此時水對容器底部的壓強為800Pa；
（2）此時容器對水平桌面的壓強為1000Pa；
（3）若往容器內緩慢加水，當彈簧測力計示數剛好變為0時，所加水的質量為3.3kg．

點評 此題考查液體壓強、固體壓強大小的計算，阿基米德原理，密度公式的應用等，涉及到的知識點較多，綜合性較強，難點在（3）關鍵是求出當彈簧測力計示數剛好變為0時，塑料塊浸入水中的深度．解答過程中應注意單位換算．