Question

9．演繹式探究--研究宇宙中的雙星問題：
（1）宇宙中任何兩個物體之間都存在萬有引力，萬有引力的大小
F_引=k$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$，其中k為常量，m₁、m₂分別為兩個物體的質量，r為兩個物體間的距離．
物體做圓周運動的快慢可以用它與圓心連線掃過角度的快慢來描述，用角速度ω來表示．做勻速圓周運動的物體，運動一周所用的時間叫做周期，用T表示．T與ω的關系為：T=$\frac{2π}{ω}$．
物體做勻速圓周運動需要受到指向圓心的力叫做向心力．質量為m的物體以角速度ω做半徑為r的勻速圓周運動，向心力的大小F_心=mω²r，則在m與ω一定時，F_心與r的關系可用圖甲中的圖線b表示．
（2）被相互引力系在一起、互相繞轉的兩顆星叫物理雙星，雙星是繞公共圓心轉動的一對恒星，各自需要的向心力由彼此的萬有引力相互提供，轉動的周期和角速度都相同．如圖乙所示，質量為m₁、m₂的雙星，運動半徑分別為r₁、r₂，它們之間的距離L=r₁+r₂．
請推理證明：周期T=2π$\sqrt{\frac{{L}^{3}}{k（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$．

Answer 1

分析 （1）先確定是什么函數，再根據函數的圖象特點來判斷．比如：正比例函數是過原點的直線，反比例函數是雙曲線，一次函數是直線，二次函數是拋物線．
（2）利用數學手段來推理證明．

解答 解：（1）向心力大小的函數關系式為：F_心=mω²r，在m與ω一定時，F_心與r是正比例函數關系，所以圖象是過原點的一條直線，故選b．
（2）證明：
因為F₁=F₂=k$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}$，F₁=m₁ω²r₁，F₂=m₂ω²r₂，
所以r₁=$\frac{k{m}_{2}}{{ω}^{2}{L}^{2}}$，r₂=$\frac{k{m}_{1}}{{ω}^{2}{L}^{2}}$，
則L=r₁+r₂=$\frac{k{m}_{2}}{{ω}^{2}{L}^{2}}$+$\frac{k{m}_{1}}{{ω}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{k（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{ω}^{2}{L}^{2}}$，
上式變形可得：ω²=$\frac{k（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{L}^{3}}$，
所以T=$\frac{2π}{ω}$=2π$\sqrt{\frac{{L}^{3}}{k（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$
故答案為：（1）b；（2）證明過程同上．

點評 本題考查物理圖線及公式變換的知識，考查學生對物理與數學知識結合的能力及推導物理公式的能力，較多地利用數學手段，是一道難題．