Question

10．底面積為S₁和S₂的兩柱形容器中分別盛有質量相等的水和酒精（ρ_水＞ρ_酒精），現將質量相等的甲、乙實心小球分別浸沒在水和酒精中（液體不溢出）．已知兩小球密度分別為ρ_甲和ρ_乙，以下條件中可能使水和酒精對容器底部壓強相等的是（　　）

• A． S₁＜S₂  ρ_甲=ρ_乙
• B． S₁=S₂  ρ_甲＜ρ_乙
• C． S₁=S₂  ρ_甲=ρ_乙
• D． S₁＞S₂  ρ_甲＞ρ_乙

Answer 1

分析 （1）先根據容器底面積關系和液體質量相等利用p=$\frac{F}{S}$判斷在沒有放小球之前，水和酒精對容器底部的壓強，
根據題意水和酒精對容器底部壓強相等判斷出增加的壓力，再結合浮力公式得出兩小球的體積關系，進而知道密度關系；
（2）先結合選項中兩個容器底面積的關系，根據水和酒精的質量相同得出沒有放小球之前，水和酒精的高度關系，
然后根據容器底受到的壓強相等比較液體高度的關系和排開液體體積的關系，從而得出兩球密度關系即可判斷出正確的選項．

解答 解：A、當兩個容器的底面積S₁＜S₂時，水和酒精的質量相同，
根據柱形容器底面受到的壓力等于液體自身的重力可知，水和酒精對容器底的壓力相等，
在沒有放小球之前，由p=$\frac{F}{S}$可得，水對容器底部壓強大于酒精對容器底部的壓強，
兩個小球的質量相同，當ρ_甲=ρ_乙時，根據ρ=$\frac{m}{V}$可知，V_甲=V_乙，
又因為小球均浸沒在液體中，所以排開液體的體積V_排相同，
根據$△h=\frac{{V}_{排}}{{S}_{容}}$可知，S₁ 小，則水面升高的高度大，水增加的壓強大，
即放入后水的壓強比酒精的壓強大，故A不符合題意；
B、當兩個容器的底面積S₁=S₂，水和酒精的質量相同，水和酒精對容器底的壓力相等，
在沒有放小球之前，由p=$\frac{F}{S}$可得，水對容器底部壓強等于酒精對容器底部的壓強，
兩個小球的質量相同，當ρ_甲＜ρ_乙時，根據ρ=$\frac{m}{V}$可知，V_甲＞V_乙，
又因為小球均浸沒在液體中，所以甲球排開水的體積較大，
根據$△h=\frac{{V}_{排}}{{S}_{容}}$可知，則水面升高的高度大，水增加的壓強大，
即放入后水的壓強比酒精的壓強大，故B不符合題意；
C、當S₁=S₂，ρ_甲=ρ_乙，與B項同理，水對容器底部壓強等于酒精對容器底部的壓強，
兩個小球的質量相同，當ρ_甲=ρ_乙時，根據ρ=$\frac{m}{V}$可知，V_甲=V_乙，
又因為小球均浸沒在液體中，所以它們排開液體的體積相同，
根據$△h=\frac{{V}_{排}}{{S}_{容}}$可知，則液面升高的高度相同；
由于水的密度大于酒精，根據△p=ρ_液g△h可知，水增加的壓強大，
即放入后水的壓強比酒精的壓強大，故C不符合題意；
D、當兩個容器的底面積S₁＞S₂，水和酒精的質量相同，水和酒精對容器底部壓力相等，
在沒有放小球之前，由p=$\frac{F}{S}$可得，水對容器底部壓強小于酒精對容器底部的壓強，
小球浸沒時，要使水和酒精對容器底部壓強相等，由于S₁大，根據F=pS可知，此時水對容器底的壓力較大，則水對容器底增加的壓力大于酒精對容器底部增加的壓力，即：△F_水＞△F_酒，
又因為容器底部增加的壓力等于小球受到的浮力，即△F_水=F_浮甲，△F_酒=F_浮乙，
所以F_浮甲＞F_浮乙，即：ρ_水gV_甲＞ρ_酒精gV_乙，
又因為ρ_水＞ρ_酒精，所以體積關系可能為：V_甲＜V_乙，或V_甲=V_乙，或V_甲＞V_乙，
小球的質量相同，根據ρ=$\frac{m}{V}$可知，當V_甲＜V_乙，ρ_甲＞ρ_乙；
當V_甲=V_乙，ρ_甲=ρ_乙；
當V_甲＞V_乙，ρ_甲＜ρ_乙，故D符合題意．
故選：D．

點評 本題主要學生對密度公式、液體壓強的計算公式及浮力的計算公式的掌握和應用，難點是通過分析質量、深度的大小，找到體積的大小關系，關鍵要知道柱形容器底部受到的壓力等于液體自身的重力，有一定的難度．