Question

5．將質量相等的小球甲、乙分別輕輕放入盛滿水和酒精的大燒杯中，靜止后從大燒杯中溢出水的質量為m₁；從大燒杯中溢出酒精的質量為m₂．已知ρ_酒精=0.8×10³kg/m³，m₁：m₂=9：8，甲、乙物體的密度之比為4：5，則甲、乙物體受到的浮力之比為9：8，乙物體的密度為0.9×10³ kg/m³．

Answer 1

分析 根據F_浮=G_排可求得甲、乙物體受到的浮力之比；解題時先做出4種假設：①若甲乙都漂浮，②若甲乙都浸沒（懸浮或下沉），③若甲漂浮在水面、乙浸沒（懸浮或下沉），④若甲浸沒（懸浮或下沉）、乙漂浮在酒精面，然后進行分析討論，然后得出答案．

解答 解：
（1）小球甲放入盛滿水的大燒杯中，甲靜止后從大燒杯中溢出水的質量為m₁；
則小球甲受到的浮力F_浮甲=G_排甲=m₁g；
小球乙放入盛滿酒精的大燒杯中，乙靜止后從大燒杯中溢出酒精的質量為m₂；
則小球乙受到的浮力F_浮乙=G_排乙=m₂g；
甲、乙物體受到的浮力之比：
F_甲：F_乙=$\frac{{G}_{排甲}}{{G}_{排乙}}$=$\frac{{m}_{1}g}{{m}_{2}g}$=$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}$=$\frac{9}{8}$；
（2）甲乙兩物體的質量相等，密度之比ρ_甲：ρ_乙=4：5，
由密度變形公式V=$\frac{m}{ρ}$可知V_甲：V_乙=5：4；
①若甲乙都漂浮，浮力等于小球的重力，小球的重力相等，則此時浮力之比為1：1，不符合題意，不存在這種狀態；
②若甲乙都浸沒（懸浮或下沉），則V_排=V_物，
此時浮力之比：F_甲：F_乙=$\frac{{ρ}_{水}{V}_{甲}g}{{ρ}_{酒精}{V}_{乙}g}$=$\frac{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×5×g}{0.8×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×4×g}$=25：16，不符合題意，不存在這種狀態；
③若甲漂浮在水面，甲受到的浮力等于物體重；乙浸沒（懸浮或下沉），乙受到的浮力小于或等于物體重，所以乙受到的浮力小于或等于甲受到的浮力，受到的浮力之比可能為9：8，符合題意，存在這種狀態：
甲漂浮在水面，則F_甲=mg=ρ_甲V_甲g；乙浸沒在酒精中，則F_乙=ρ_酒精V_乙g；
浮力之比F_甲：F_乙=$\frac{{ρ}_{甲}{V}_{甲}g}{{ρ}_{酒精}{V}_{乙}g}$=$\frac{{ρ}_{甲}×5×g}{0.8×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×4×g}$=$\frac{9}{8}$，
解得ρ_甲=0.72×10³kg/m³，
因為ρ_甲：ρ_乙=4：5，
所以ρ_乙=$\frac{5×{ρ}_{甲}}{4}$=0.9×10³kg/m³．
④若甲浸沒（懸浮或下沉），甲受到的浮力小于或等于物體重；乙漂浮在酒精面，乙受到的浮力等于物體重，所以甲受到的浮力小于或等于乙受到的浮力，而受到的浮力之比為9：8，不符合條件，不存在這種狀態．
故答案為：9：8；0.9×10³．

點評 本題是一道典型的分類討論題，在解題時能否預設物體的浮沉狀態，進行分析討論是本題的解題關鍵．