Question

如圖所示，兩平面鏡A和B之間的夾角為9°自平面鏡B上的某點(diǎn)P射出一條與B鏡面成β角的光線，在β角由0°至180°范圍內(nèi)（不包括0°）連續(xù)變化的過程中，發(fā)現(xiàn)當(dāng)β取某角度時(shí)，光線經(jīng)鏡面一次或多次反射后，恰好能返回到P點(diǎn)，則符合該要求的β的個(gè)數(shù)有（　　）

A．1個(gè)

B．4個(gè)

C．6個(gè)

D．9個(gè)

Answer 1

分析：兩平面鏡A和B之間的夾角為α，自平面鏡B上的某點(diǎn)P射出一條與B鏡面成θ角的光線，在θ角由0°至180°范圍內(nèi)（不包括0°）連續(xù)變化的過程中，發(fā)現(xiàn)當(dāng)θ取某角度時(shí)，光線經(jīng)鏡面一次或多次反射后，恰好能返回到P點(diǎn)，則把180分解成兩個(gè)整數(shù)相乘，有幾種分解方法就有幾個(gè)要求的．

解答：解：此題有兩種解法：
（1）當(dāng)θ取某角度時(shí)，光線經(jīng)鏡面一次或多次反射后，恰好能返回到P點(diǎn)，則把180分解成兩個(gè)整數(shù)相乘，把180度分解成幾個(gè)整數(shù)相乘，就有幾個(gè)符合該要求的β的個(gè)數(shù)．
則180°=90°×2=60°×3=45°×4=36°×5=30°×6=20°×9=18°×10=15°×12=180°×1．
共有9個(gè)． 
（2）可按以退求進(jìn)法解，因?yàn)槿肷涔饩�與鏡子的夾角為90垂直時(shí)即可原路返回．所以一次反射就能返回則，β=90-α=90-9=81．若2次反射后返回則，β=90-2α=90-2×9=72，三次則β=90-3α=63．這樣第四次，第五次，第六次，第七次，第八次分別都可以按照β=90-nα算出來．到當(dāng)?shù)诰糯螘r(shí)β=9，此時(shí)若第十次則為負(fù)了，所以不可能再有第十次．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查光的反射定律，因光線經(jīng)鏡面一次或多次反射后，恰好能返回到P點(diǎn)，所以就是要求我們把180°分解成兩個(gè)整數(shù)相乘，此題有一定難度，是一道競(jìng)賽題．