Question

某科技小組的同學們設計制作了一個多擋位電熱器模型，為了分析接入電路的電阻對電熱器電功率的影響，他們將電表接入電路中，如圖所示．當只閉合開關S₁時，電壓表和電流表的示數分別為U₁和I₁，電阻R₃消耗的電功率為P₃；當只閉合開關S₂時，電壓表和電流表的示數分別為U₂和I₂，電阻R₃消耗的電功率為P₃′，并測得此時R₂消耗的電功率為l．6W，已知U₂=2U₁，P₃=4P₃′．電源電壓、電阻保持不變．
（1）求電阻R₁與R₂的比值；
（2）通過撥動開關，可以使電路消耗的電功率最大，請計算電路消耗的最大電功率．

Answer 1

解：（1）只閉合S₁時，R₁和R₂串聯，等效電路圖如圖1所示；只閉合S₂時，R₂和R₃串聯，等效電路圖如圖2所示．

∵P=I²R，且P₃：P₃′=4：1，
∴==（）²=，
解得：=，
∵I=，且U₁：U₂=1：2，
∴==×=×=，
解得：=；
（2）∵電源的電壓不變，
∴===，
解得：R₃=2R₁，R₂=2R₃，
圖2中：I₂===，
P₂=I₂²R₂=（）²×R₂=×=1.6W，
即=3.6W，
當S₁、S₂、S₃都閉合時，R₁和R₂并聯，此時R_總最小，電路的總功率最大．

∵并聯電路中各支路兩端的電壓相等，
∴電路消耗的最大功率：
P=P₁+P₂′=+=+=5×=5×3.6W=18W．
答：（1）電阻R₁與電阻R₂的比值為1：4；
（2）電路消耗總功率最大，最大為18W．
分析：（1）只閉合S₁時R₁和R₂串聯，只閉合S₂時R₂和R₃串聯，根據P=I²R表示出電阻R₃消耗的電功率結合比值求出兩電流關系，根據歐姆定律表示出電壓表的示數結合電流關系即可求出電阻R₁與電阻R₂的比值；
（2）根據電阻的串聯和歐姆定律表示出電源的電壓，利用電源的電壓不變建立等式結合電流關系即可得出三電阻的阻值關系，根據電阻的串聯和歐姆定律表示出圖2中的電流，利用P=I²R表示出電阻R₂消耗的電功率1.6W，當S₁、S₂、S₃都閉合時，R₁和R₂并聯，此時電路中的總電阻最小，電路的總功率最大，根據并聯電路的電壓特點和P=表示出R₁和R₂的電功率，兩者之和即為最大總功率．
點評：弄清三種情況下電路的連接形式結合已知的幾個等式2U₁=U₂，P₃=4P₃′，從R₂消耗的電功率為1.6W為突破口．是解決本題的關鍵．