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某校研究性學習小組在研究有關二次函數及其圖象性質的問題時，發現了兩個重要的結論：一是發現拋物線y＝ax²＋2x＋3(a≠0)，當實數a變化時，它的頂點都在某條直線上；二是發現當實數a變化時，若把拋物線y＝ax²＋2x＋3的頂點的橫坐標減少，縱坐標增加，得到A點的坐標；若把頂點的橫坐標增加，縱坐標增加，得到B點的坐標，則A、B兩點一定仍在拋物線y＝ax²＋2x＋3上．

(1)請你協助探求出當實數a變化時，拋物線y＝ax²＋2x＋3的頂點所在直線的解析式；

(2)問題(1)中的直線上有一個點不是該拋物線的頂點，你能找出它來嗎？并說明理由；

(3)在他們第二個發現的啟發下，運用“一般——特殊——一般”的思想，你還能發現什么？你能用數學語言將你的猜想表達出來嗎？你的猜想能成立嗎？若能成立，請說明理由．

已知拋物線y＝x²＋bx＋c的頂點坐標是(1，)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)若直線y＝kx(k＞0)分別與拋物線交于兩個不同的點A、B，與直線y＝－x＋4相交于點P，求的值；

(3)在(2)中，是否存在k的值，使A、B兩點的縱坐標之和等于4？如果存在，求出k的值，如果不存在，請說明理由．

在平面直角坐標系xOy中，已知直線l₁經過點A(－2，0)和點B(0，)，直線l₂的函數表達式為＝－x＋，l₁與l₂相交于點P．⊙C是一個動圓，圓心C在直線l₁上運動，設圓心C的橫坐標是a．過點C作CM⊥x軸，垂足是點M．

(1)填空：直線l₁的函數表達式是________，交點P的坐標是________，∠FPB的度數是________；

(2)當⊙C和直線l₂相切時，請證明點P到直線CM的距離等于⊙C的半徑R，并寫出R＝－2時a的值．

(3)當⊙C和直線l₂不相離時，已知⊙C的半徑R＝－2，記四邊形NMOB的面積為S(其中點N是直線CM與l₂的交點)．S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時a的值；若不存在，請說明理由．

如下圖所示，在矩形ABCD中，AB＝20 cm，BC＝4 cm，點P從A開始沿折線A－B－C－D以4 cm/s的速度移動，點Q從C開始沿CD邊以1 cm/s的速度移動，如果點P，Q分別從A，C同時出發，當其中一點到達D時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t(s)．

(1)t為何值時，四邊形APQD為矩形？

(2)如下圖所示，如果⊙P和⊙Q的半徑都是2 cm，那么t為何值時，⊙P和⊙Q外切？

已知關于x的一元二次方程－x²＋bx＋c＝0的兩個實數根是m，4，其中0＜m＜4．

(1)求b，c的值(用含m的代數式表示)；

(2)設拋物線y＝－x²＋bx＋c與x軸交于A，B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C，如圖所示，若點D的坐標為(0，－2)，且AD²＋BD²＝25，求拋物線的關系式及點C的坐標；

(3)在(2)中所得的拋物線上是否存在點P，使得PC＝PD？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由；

(4)在(2)中所得的拋物線上是否存在點P，使得△PCD是等腰三角形？若存在，指出滿足條件的P點的個數；若不存在，請說明理由．

閱讀題．

(1)如圖所示，設正方形ABCD的面積為S，它的兩條對角線與一組對邊所圍成的兩個三角形面積為S₁，S₂，則三者之間存在的等量關系為________；

(2)將第(1)問中的正方形改為矩形后，其余條件不變，則第(1)問中的等量關系是否成立？

(3)將第(1)問中的正方形改為平行四邊形后，依照第(1)問寫一個命題并判斷真假；(不要求證明)

(4)設梯形的面積為S，梯形的兩條對角線與兩底邊所夾的三角形面積為S₁，S₂，則三者之間有何等量關系，并證明你的結論；

(5)根據(1)至(4)你可以歸納出的結論：________．

如圖(1)所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC．

(1)如果P，E，F分別是BC，AC，BD的中點．求證AB＝PE＋PF；

(2)如果P是BC上的任意一點(中點除外)，PE∥AB，PF∥DC．

如圖(2)所示，那么AB＝PE＋PF這個結論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．

如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCO的面積為15，邊OA比OC大2．E為BC的中點，以OE為直徑的⊙交x軸于D點，過點D作DF⊥AE于點F．

(1)求OA、OC的長；

解：

(2)求證：DF為⊙的切線；

證明：

(3)小明在解答本題時，發現△AOE是等腰三角形．由此，他斷定：“直線BC上一定存在除點E以外的點P，使△AOP也是等腰三角形，且點P一定在⊙外”．你同意他的看法嗎？請充分說明理由．

解：

已知△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB邊上的動點(與點A、B不重合)，Q是BC邊上的動點(與點B、C不重合)．

(1)如圖所示，當PQ∥AC，且Q為BC的中點時，求線段CP的長；

(2)當PQ與AC不平行時，△CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，請求出線段CQ的長的取值范圍；若不可能，請說明理由．

在平面直角坐標系xOy中，已知A(4，0)、B(0，3)，P是線段AB上一動點(與點A、B不重合)，Q是線段OA上一動點(與點O、A不重合)，C為OQ的中點，

(1)求直線AB的解析式；

(2)過點C作AB的垂線，垂足為D，設OC＝x，CD＝d，寫出d與x的函數關系式，并指出自變量x的取值范圍；

(3)當OQ＝3時，以OQ為直徑作圓C，試判斷直線AB與圓C的位置關系？

(4)當PQ不與x軸垂直時，△OPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，請求出線段OQ的長的取值范圍，若不可能，請說明理由．