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科目： 來源：2013年北京市昌平區中考數學二模試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，點A、B、C分別是⊙O上的點，∠B=60°，CD是⊙O的直徑，P是CD延長線上的點，且AP=AC．
（1）求證：AP是⊙O的切線；
（2）若AC=3，求PD的長．

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科目： 來源：2013年北京市昌平區中考數學二模試卷（解析版） 題型：解答題

如圖所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=15，AD=20，∠C=30°．點M、N同時以相同的速度分別從點A、點D開始在AB、DA上向點B、點A運動．
（1）設ND的長為x，用x表示出點N到AB的距離；
（2）當五邊形BCDNM面積最小時，請判斷△AMN的形狀．

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科目： 來源：2013年北京市昌平區中考數學二模試卷（解析版） 題型：解答題

（1）【原題呈現】如圖，要在燃氣管道l上修建一個泵站分別向A、B兩鎮供氣．泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？
解決問題：請你在所給圖中畫出泵站P的位置，并保留作圖痕跡；
（2）【問題拓展】已知a＞0，b＞0，且a+b=2，寫出

的最小值；
（3）【問題延伸】已知a＞0，b＞0，寫出以

、

為邊長的三角形的面積．

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科目： 來源：2013年北京市昌平區中考數學二模試卷（解析版） 題型：解答題

已知點A（a，y₁）、B（2a，y₂）、C（3a，y₃）都在拋物線y=5x²+12x上．
（1）求拋物線與x軸的交點坐標；
（2）當a=1時，求△ABC的面積；
（3）是否存在含有y₁，y₂，y₃，且與a無關的等式？如果存在，試給出一個，并加以證明；如果不存在，說明理由．

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科目： 來源：2013年北京市昌平區中考數學二模試卷（解析版） 題型：解答題

（1）如圖1，以AC為斜邊的Rt△ABC和矩形HEFG擺放在直線l上（點B、C、E、F在直線l上），已知BC=EF=1，AB=HE=2．△ABC沿著直線l向右平移，設CE=x，△ABC與矩形HEFG重疊部分的面積為y（y≠0）．當x=

時，求出y的值；
（2）在（1）的條件下，如圖2，將Rt△ABC繞AC的中點旋轉180°后與Rt△ABC形成一個新的矩形ABCD，當點C在點E的左側，且x=2時，將矩形ABCD繞著點C順時針旋轉α角，將矩形HEFG繞著點E逆時針旋轉相同的角度．若旋轉到頂點D、H重合時，連接AG，求點D到AG的距離；
（3）在（2）的條件下，如圖3，當α=45°時，設AD與GH交于點M，CD與HE交于點N，求證：四邊形MHND為正方形．

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科目： 來源：2013年北京市昌平區中考數學二模試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知半徑為1的⊙O₁與x軸交于A，B兩點，OM為⊙O₁的切線，切點為M，圓心O₁的坐標為（2，0），二次函數y=-x²+bx+c的圖象經過A，B兩點．
（1）求二次函數的解析式；
（2）求切線OM的函數解析式；
（3）線段OM上存在一點P，使得以P，O，A為頂點的三角形與△OO₁M相似．請問有幾個符合條件的點P并分別求出它們的坐標．