Question

如圖，點A、B、C分別是⊙O上的點，∠B=60°，CD是⊙O的直徑，P是CD延長線上的點，且AP=AC．
（1）求證：AP是⊙O的切線；
（2）若AC=3，求PD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OA，求出∠AOC，求出∠ACP，得出∠P，求出∠AOD，推出∠PAO=90°，根據切線判定推出即可；
（2）根據∠ACD=30°，AC=3求出DC，求出半徑，在Rt△PAO中根據勾股定理求出即可．
解答：解：（1）證明：連接OA，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
∵OA=OC，
∴∠ACP=∠CAO=30°，
∴∠AOP=60°，
又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=90°，
即OA⊥AP，
∵點O在⊙O上，
∴AP是⊙O的切線．

（2）解：連接AD，
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠CAD=90°，
∴AD=AC?tan30°=，CD=2AD=2，
∴DO=AO=CD=，
在Rt△PAO中，由勾股定理得：PA²+AO²=PO²，
∴3²+（）²=（PD+）²，
∵PD的值為正數，
∴PD=．
點評：本題考查了切線的性質和判定，圓周角定理，等腰三角形的性質和判定的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力．