Question

已知點A（a，y₁）、B（2a，y₂）、C（3a，y₃）都在拋物線y=5x²+12x上．
（1）求拋物線與x軸的交點坐標；
（2）當a=1時，求△ABC的面積；
（3）是否存在含有y₁，y₂，y₃，且與a無關的等式？如果存在，試給出一個，并加以證明；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0，得出的關于x的二元一次方程的解就是拋物線與x軸的交點的橫坐標，也就求得出了拋物線與x軸的交點坐標．
（2）當a=1時，根據拋物線的解析式求出A、B、C三點的坐標，由于三角形的面積無法直接求出，因此通過作輔助線用其他規則圖形的面積的“和，差”關系來求．如：分別過點A、B、C作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，S_△ABC=S_梯形ADFC-S_梯形ADEB-S_梯形BEFC由此可求出△ABC的面積．
（3）可將A、B、C三點的坐標代入拋物線中，得出y₁，y₂，y₃的值，然后進行比較即可得出它們之間的和差或倍數關系．
解答：解：（1）由5x²+12x=0，
得x₁=0，．
∴拋物線與x軸的交點坐標為（0，0）、（，0）．

（2）當a=1時，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81），
分別過點A、B、C作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，
則有S_△ABC=S_梯形ADFC-S_梯形ADEB-S_梯形BEFC
=--=5（個單位面積）

（3）如：y₃=3（y₂-y₁）．
事實上，y₃=5×（3a）²+12×（3a）=45a²+36a．
3（y₂-y₁）=3[5×（2a）²+12×2a-（5a²+12a）]=45a²+36a．
∴y₃=3（y₂-y₁）．
點評：本題主要考查了二次函數的應用，根據拋物線的解析式來確定A、B、C三點的坐標是解題的關鍵．