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科目： 來源：2012-2013學年北京市三十一中九年級（上）期中數學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，每個小正方形的頂點叫格點，△ABC的頂點均在格點上，O、M也在格點上．
（1）畫出△ABC關于直線OM對稱的△A₁B₁C₁；
（2）畫出△ABC繞點O按順時針方向旋轉90°后所得的△A₂B₂C₂；
（3）△A₁B₁C₁與△A₂B₂C₂組成的圖形是軸對稱圖形嗎？如果是軸對稱圖形，請畫出對稱軸．

科目： 來源：2012-2013學年北京市三十一中九年級（上）期中數學試卷（解析版） 題型：解答題

在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點，且∠AFE=∠B
（1）求證：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=4，AD=3，AE=3，求AF的長．

科目： 來源：2012-2013學年北京市三十一中九年級（上）期中數學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC于點D、E，連接EB交OD于點F．
（1）求證：OD⊥BE；
（2）若DE=，AB=，求AE的長．

科目： 來源：2012-2013學年北京市三十一中九年級（上）期中數學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，Rt△ABC的斜邊AB=4，O是AB的中點，以O為圓心的半圓分別與兩直角邊相切于點D、E，
（1）求證：∠A=∠B．
（2）求圖中陰影部分的面積．

科目： 來源：2012-2013學年北京市三十一中九年級（上）期中數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知：如圖，∠MAN=45°，B為AM上的一個定點．若點P在射線AN上，以P為圓心，PA為半徑的圓與射線AN的另一個交點為C．請確定⊙P的位置，使BC恰與⊙P相切．
（1）畫出⊙P；（不要求尺規作圖，不要求寫畫法）
（2）連接BC、BP并填空：
①∠ABC=______°；
②比較大小：∠ABP______∠CBP．（用“＞”“＜”或“=”連接））

科目： 來源：2012-2013學年北京市三十一中九年級（上）期中數學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖：學校旗桿附近有一斜坡．小明準備測量學校旗桿AB的高度，他發現當斜坡正對著太陽時，旗桿AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此時小明測得水平地面上的影長BC=20米，斜坡坡面上的影長CD=8米，太陽光線AD與水平地面成30°角，斜坡CD與水平地面BC成30°的角，求旗桿AB的高度．

科目： 來源：2012-2013學年北京市三十一中九年級（上）期中數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知：如圖，等腰△ABC中，AB=BC，AE⊥BC于E，EF⊥AB于F，cos∠AEF=，
（1）當BE=4時，求EF長．
（2）若CE=2，求EF的長．

科目： 來源：2012-2013學年北京市三十一中九年級（上）期中數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知：如圖，在△ABC中，點D在AC上，點E在CB的延長線上，且AD=BE，求證：．

科目： 來源：2012-2013學年北京市三十一中九年級（上）期中數學試卷（解析版） 題型：解答題

閱讀下列材料：
問題：如圖1，在正方形ABCD內有一點P，PA=，PB=，PC=1，求∠BPC的度數．
小明同學的想法是：已知條件比較分散，可以通過旋轉變換將分散的已知條件集中在一起，于是他將△BPC繞點B逆時針旋轉90°，得到了△BP′A（如圖2），然后連接PP′．
請你參考小明同學的思路，解決下列問題：
（1）圖2中∠BPC的度數為______；
（2）如圖3，若在正六邊形ABCDEF內有一點P，且PA=，PB=4，PC=2，則∠BPC的度數為______，正六邊形ABCDEF的邊長為______

科目： 來源：2012-2013學年北京市三十一中九年級（上）期中數學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的頂點E與△ABC的斜邊BC的中點重合．將△DEF繞點E旋轉，旋轉過程中，線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與射線CA相交于點Q．
（1）如圖①，當點Q在線段AC上，且AP=AQ時，求證：△BPE≌△CQE；
（2）如圖②，當點Q在線段CA的延長線上時，求證：△BPE∽△CEQ；并求當BP=a，CQ=時，P、Q兩點間的距離 （用含a的代數式表示）．