Question

已知：m、n是方程x²-6x+5=0的兩個實數根，且m＜n，拋物線y=-x²+bx+c經過點A（m，0），B（0，n）且此時拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D．
（1）該拋物線對稱軸與x軸交點坐標為

 

，S_△BCD=

 

；
（2）過點B作直線l，使直線l平分△BCD的面積，試求直線l的解析式．

Answer 1

分析：（1）通過解方程可求得m、n的值，從而得到A、B的坐標，然后根據A、B的坐標即可確定拋物線的解析式，進而可求得拋物線的頂點坐標和對稱軸方程；設拋物線的對稱軸與x軸的交點為E，根據拋物線頂點D的坐標，可得到DE、OE的長，A、C的坐標易求得，即可得到OA、OC的值，可分別求出梯形OBDE、△CDE、△COB的面積，那么梯形OBDE、△CDE的面積和減去△COB的面積即為△BCD的面積．
（2）若直線l平分△BCD的面積，那么直線l必過CD的中點，可先根據C、D的坐標得到CD的中點坐標，然后結合點B的坐標，利用待定系數法求出直線l的解析式．

解答：解：（1）解方程x²-6x+5=0，得：x=1，x=5；
故m=1，n=5，
即A（1，0），B（0，5），
代入拋物線y=-x²+bx+c中，得：

-1+b+c=0 c=5

，
解得

b=-4 c=5

；
即拋物線的解析式為：y=-x²-4x+5；
當y=0時，-x²-4x+5=0，
解得x=1，x=-5，故C（-5，0）；
由于y=-x²-4x+5=-（x+2）²+9，
即D（-2，9）；
設拋物線的對稱軸與x軸的交點為E，則E（-2，0），
S_△BCD=S_梯形OEDB+S_△CDE-S_△COB=

1

2

（5+9）×2+

1

2

×3×9-

1

2

×5×5=15；
故拋物線與x軸的交點為（-2，0），（3分）
△BCD的面積為：15．（6分）

（2）由于C（-5，0），D（-2，9），則CD的中點Q（-

7

2

，

9

2

）；
若直線l平分△BCD的面積，則直線l必經過Q、B兩點，設直線l的解析式為：y=kx+5，則有：
-

7

2

k+5=

9

2

，k=

1

7

；
故直線l的解析式為：y=

1

7

x+5．（10分）

點評：此題主要考查了用待定系數法確定函數解析式的方法以及圖形面積的求法，屬于基礎知識，需要熟練掌握．