Question

若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個實根為x₁、x₂，則兩根與方程系數之間有如下關系：x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

．這一結論稱為一元二次方程根與系數關系，它的應用很多，請完成下列各題：
（1）應用一：用來檢驗解方程是否正確．
檢驗：先求x₁+x₂=

-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．
再將你解出的兩根相加、相乘，即可判斷解得的根是否正確．（本小題完成填空即可）
（2）應用二：用來求一些代數式的值．
①已知：x₁、x₂是方程x²-4x+2的兩個實數根，求（x₁-1）（x₂-1）的值；
②若a、b是方程x²+2x-2013=0的兩個實數根，求代數式a²+3a+b的值．

Answer 1

分析：（1）根據根與系數的關系填空；
（2）①先根據根與系數的關系得到x₁+x₂=4，x₁•x₂=2，再把（x₁-1）（x₂-1）展開，變形得到x₁•x₂-（x₁+x₂）+1，然后利用整體代入的方法計算；
②先根據方程的根的定義得到a²+2a-2013=0，即a²=-2a+2013，則原式=a+b+2013，然后根據根與系數的關系得到a+b=-2，再利用整體代入的方法計算．

解答：解：（1）答案為：-

b

a

，

c

a

；

（2）①根據題意得x₁+x₂=4，x₁•x₂=2，
所以（x₁-1）（x₂-1）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=2-4+1=-1；
②∵a是方程x²+2x-2013=0的根，
∴a²+2a-2013=0，即a²=-2a+2013，
∴a²+3a+b=-2a+2013+3a+b
=a+b+2013，
∵a、b是方程x²+2x-2013=0的兩個實數根，
∴a+b=-2，
∴a²+3a+b=-2+2013=2011．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程的解．