Question

如圖，D是△ABC中AB邊的中點，△BCE和△ACF都是等邊三角形， M、N分別是CE、CF的中點.

【小題1】求證：△DMN是等邊三角形；
【小題2】連接EF，Q是EF中點，CP⊥EF于點P. 求證：DP＝DQ.
同學們，如果你覺得解決本題有困難，可以閱讀下面兩位同學的解題思路作為參考：
小聰同學發(fā)現(xiàn)此題條件中有較多的中點，因此考慮構(gòu)造三角形的中位線，添加出了一些輔助線；小慧同學想到要證明線段相等，可通過證明三角形全等，如何構(gòu)造出相應的三角形呢？她考慮將△NCM繞頂點旋轉(zhuǎn)到要證的對應線段的位置，由此猜想到了所需構(gòu)造的三角形的位置.

Answer 1

【小題1】取AC的中點G，連接NG、DG.

∴DG＝BC，DG∥BC；△NGC是等邊三角形.  
∴NG = NC，DG =" CM."
∵∠1 + ∠2 = 180º，
∴∠NGD + ∠2 = 240º.
∵∠2 + ∠3 = 240º，
∴∠NGD =∠3.
∴△NGD≌△NCM .
∴ND =" NM" ，∠GND =∠CNM. 
∴∠DNM ="∠GNC" = 60º.
∴△DMN是等邊三角形. 
【小題1】連接QN、PM.

∴QN =CE=" PM."
Rt△CPE中，PM =EM，∴∠4=" ∠5."
∵MN∥EF，∴∠5= ∠6，∠7= ∠8.
∵NQ∥CE，∴∠7= ∠4.
∴∠6= ∠8.
∴∠QND=" ∠PMD."
∴△QND≌△PMD.
∴DQ= DP. 

解析【小題1】先證出NG = NC，DG = CM，再證出△NGD≌△NCM，得出△DMN是等邊三角形；
【小題1】根據(jù)題意得出QN =CE= PM，然后證明△QND≌△PMD，從而得出DQ= DP.