Question

如圖，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中點，
（1）求證：BC=DE；
（2）連接AD、BE，探究：當△ABC滿足什么條件時，四邊形DBEA是矩形？并說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵E是AC的中點，
∴EC=AC，
∵DB=AC，
∴DB=EC，
又∵DB∥AC，
∴四邊形BCED是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），
∴BC=DE；

（2）解：△ABC滿足AB=BC時，四邊形DBEA是矩形．
理由如下：∵E是AC的中點，
∴AE=AC，
∵DB=AC，
∴DB=AE，
又∵DB∥AC，
∴四邊形DBEA是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），
∵AB=BC，E為AC中點，
∴∠AEB=90°，
∴平行四邊形DBEA是矩形，
即△ABC滿足AB=BC時，四邊形DBEA是矩形．
分析：（1）根據中點的定義可得EC=AC，然后得到DB=EC，然后證明四邊形BCED是平行四邊形，根據平行四邊形的對邊相等即可得證；
（2）同（1）的方法可證四邊形DBEA是平行四邊形，根據等腰三角形三線合一的性質得出∠BEA=90°，根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形推出即可．
點評：本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定與性質，等腰三角形三線合一的性質，題目難度不大，熟練掌握平行四邊形的判定與性質以及平行四邊形與矩形的聯系是解題的關鍵．