Question

如圖，△ABC內接于⊙O，AE是∠BAC外角∠CAD的平分線，交BC延長線于點E，延長EA交⊙O于點F，連接BF，求證：FB²=FA•FE．

Answer 1

【答案】分析：要證FB²=FA•FE，需證FB：FA=FE：FB，需證△FAB和△FBE相似．有一公共角∠F，再證明∠FBE=∠FAB即可證明兩三角形相似．
解答：證明：∵AE是∠BAC外角∠CAD的平分線，
∴∠DAE=∠CAE，又∠DAE=∠FAB，∠FBE=∠CAE，
∴∠FBE=∠FAB，
又∵∠BFE=∠AFB
∴△FAB∽△FBE
∴FB：FA=FE：FB即FB²=FA•FE．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定及性質．注意：在圓中證明兩三角形相似時，通常找角相等的條件，比找邊對應成比例容易得多．