Question

如圖，點A、B、C分別是⊙O上的點，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直徑，P是CD延長線上的一點，且AP=AC．
（1）求證：AP是⊙O的切線；
（2）求PD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先連接OA，由∠B=60°，利用圓周角定理，即可求得∠AOC的度數，又由OA=OC，即可求得∠OAC與∠OCA的度數，利用三角形外角的性質，求得∠AOP的度數，又由AP=AC，利用等邊對等角，求得∠P，則可求得∠PAO=90°，則可證得AP是⊙O的切線；
（2）由CD是⊙O的直徑，即可得∠DAC=90°，然后利用三角函數與等腰三角形的判定定理，即可求得PD的長．
解答：（1）證明：連接OA．
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
又∵OA=OC，
∴∠ACP=∠CAO=30°，
∴∠AOP=60°，
∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=90°，
∴OA⊥AP，
∴AP是⊙O的切線，

（2）解：連接AD．
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠CAD=90°，
∴AD=AC•tan30°=3×=，
∵∠ADC=∠B=60°，
∴∠PAD=∠ADC-∠P=60°-30°=30°，
∴∠P=∠PAD，
∴PD=AD=．
點評：此題考查了切線的判定、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質以及三角函數等知識．此題難度適中，解題的關鍵是準確作出輔助線，注意數形結合思想的應用．