Question

如圖， AE是⊙O直徑，D是⊙O上一點，連結AD并延長使AD=DC，連結CE交⊙O于點B，連結AB.過點E的直線與AC的延長線交于點F，且∠F=∠CED.
（1）求證:EF是⊙O切線；
（2）若CD=CF=2，求BE的長.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

試題分析：（1）根據圓周角定理由AE是⊙O直徑得到∠ADE=90°，而AD=DC，根據等腰三角形的判定方法得到EA=EC，則∠AED=∠CED，由于∠F=∠CED，所以∠AED=∠F，易得∠F+∠EAD=90°，即∠AEF=90°，然后根據切線的判定定理即可得到EF是⊙O切線；
（2）根據相似三角形的判定方法得到△ADE∽△AEF，利用相似比可計算出AE=，則CE=AE=，在Rt△ADE中，利用勾股定理計算出DE=，再由AE是⊙O直徑得到∠ABE=90°，則根據面積法得到CE•AB=
DE•AC，則可計算出AB=，，然后在Rt△ABE中，根據勾股定理計算BE．
試題解析：（1）證明：∵AE是⊙O直徑，∴∠ADE=90°.∴ED⊥AC.
∵AD=DC，∴EA=EC．∴∠AED=∠CED，
∵∠F=∠CED，∴∠AED=∠F.
而∠AED+∠EAD=90°，∴∠F+∠EAD=90°.∴∠AEF=90°.∴AE⊥EF.
∴EF是⊙O切線.
（2）∵CD=CF=2，∴AD=CD=CF=2.
∵∠ADE=∠AEF，∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF.
∴AE：AF=AD：AE，即AE：6=2：AE．∴AE=.∴CE=AE=.
在Rt△ADE中，.
∵AE是⊙O直徑，∴∠ABE=90°.
∴CE•AB=DE•AC，∴AB=.
在Rt△ABE中，．