Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，過點A作AD⊥CD于點D，交⊙O于點E，且=．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若tan∠CAB=，BC=3，求DE的長．

Answer 1

(1)證明見解析；（2）.

試題分析：（1）連結OC，由，根據圓周角定理得∠1=∠2，而∠1=∠OCA，則∠2=∠OCA，則可判斷OC∥AD，由于AD⊥CD，所以OC⊥CD，然后根據切線的判定定理得到CD是⊙O的切線；
（2）連結BE交OC于F，由AB是⊙O的直徑得∠ACB=90°，在Rt△ACB中，根據正切的定義得AC=4，再利用勾股定理計算出AB=5，然后證明Rt△ABC∽Rt△ACD，利用相似比先計算出AD=，再計算出CD=；根據垂徑定理的推論由得OC⊥BE，BF=EF，于是可判斷四邊形DEFC為矩形，所以EF=CD=，則BE=2EF=，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理計算出AE=，再利用DE=AD﹣AE求解．
試題解析：（1）證明：連結OC，如圖，

∵，
∴∠1=∠2，
∵OC=OA，
∴∠1=∠OCA，
∴∠2=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：連結BE交OC于F，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，tan∠CAB=，
而BC=3，
∴AC=4，
∴AB=，
∵∠1=∠2，
∴Rt△ABC∽Rt△ACD，
∴，即，解得，
∵，即，解得，
∵，
∴OC⊥BE，BF=EF，
∴四邊形DEFC為矩形，
∴，
∴，
∵AB為直徑，
∴∠BEA=90°，
在Rt△ABE中， ，
∴．
【考點】切線的判定．