Question

如圖，以AB為直徑的⊙O與直線CD相切于點E，且AC⊥CD，BD⊥CD，AC=8cm，BD=2cm，求四邊形ACDB的面積．

Answer 1

分析：連接OE，BF，根據切線性質推出OE⊥DC，推出OE是梯形ABDC的中位線，求出OE，即可求出AB，推出四邊形BFCD是矩形，得出DC=BF，BD=CF=2，求出AF=6cm，由勾股定理求出BF=8cm，根據梯形面積公式求出即可．

解答：解：連接OE，BF，
∵DC切⊙O于E，
∴OE⊥DC，
∵BD⊥DC，AC⊥DC，
∴BD∥OE∥AC，
∵AO=BO，
∴DE=CE，
即OE是梯形ABDC的中位線，
∴OE=

1

2

（BD+AC）=5cm，
∴AB=2OE=10cm，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AFB=90°，
∵BD⊥DC，AC⊥DC，
∴∠D=∠C=∠BFC=90°，
∴四邊形BFCD是矩形，
∴DC=BF，BD=CF=2，
∴AF=AC-CF=6cm，
在Rt△AFB中，AB=10cm，AF=6cm，由勾股定理得：BF=8cm，
即DC=8cm，
故四邊形ACDB的面積是

1

2

×（BD+AC）×CD
=

1

2

×（2+8）×8
=40cm²．

點評：本題考查了梯形的性質和判定，矩形的性質和判定，切線的性質，圓周角定理，勾股定理，梯形的中位線等知識點的綜合運用．