Question

（2013•成都一模）如圖，以AB為直徑的⊙O是△ADC的外接圓，過點O作PO⊥AB，交AC于點E，PC的延長線交AB的延長線于點F，∠PEC=∠PCE．若△ADC是邊長為1的等邊三角形，則PC的長=

1

3

．

Answer 1

分析：根據圓內接正三角形的性質得出AB⊥CD，∠NCO=30°，進而得出NO=

1

2

CO=

1

2

AO，再利用PO∥CD，得出

AE

EC

=

AO

ON

的值，再得出△PEC是等邊三角形，進而得出答案．

解答：解：∵△ADC是邊長為1的等邊三角形，AB為⊙O的直徑，
∴AB⊥CD，連接CO，
∴CO=AO，∠NCO=30°，
∴NO=

1

2

CO=

1

2

AO，
∵PO⊥AB，AB⊥CD，
∴PO∥CD，
∴

AE

EC

=

AO

ON

=2，
∵∠ACD=60°，PO∥CD，
∴∠CEP=60°，
∵PE=PC，
∴△PEC是等邊三角形，
∴EC=PC=PE=

1

3

AC=

1

3

．
故答案為：

1

3

．

點評：此題主要考查了圓內接正三角形的性質以及平行線分線段成比例定理和等邊三角形的判定等知識，根據已知得出

AE

EC

=

AO

ON

的值是解題關鍵．