Question

如圖，已知平行四邊形ABCD中，E為AD的中點，CE的延長線交BA的延長線于點F．
（1）求證：CD=FA；
（2）若使∠F=∠BCF，平行四邊形ABCD的邊長之間還需再添加一個什么條件？請你補上這個條件，并進行證明（不要再增添輔助線）．

Answer 1

【答案】分析：第（1）問根據平行四邊形的性質，-就可證明CD∥AB，∠CDA=∠DAF，又已知DE=AE，∠CED=∠AEF，符合全等三角形的判定中的ASA，即證△CDE≌△AEF，所以CD=AF．
第（2）問在第（1）問的基礎上，若使∠F=∠BCF，逆推就必須BC=BF，繼而推出BC=2BA，即為所求．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD∥AB．
又∵CE的延長線交BA的延長線于點F，
∴∠CDA=∠DAF．
∵E是AD中點，
∴DE=AE．
∵∠CED=∠AEF，
∴△CDE≌△AEF．
∴CD=AF．

（2）要使∠F=∠BCF，需平行四邊形ABCD的邊長之間是2倍的關系，即BC=2AB，
證明：∵由（1）知，△CED≌△FEA，
∴CD=AF．
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD=AB．
∴AB=AF，即BF=2AB．
∵BC=2AB．
∴BF=BC，
∴∠F=∠BCF．
點評：本題考查了平行四邊形的性質和全等三角形的判定的綜合運用，也是基礎題．