Question

如圖，已知平行四邊形DEFG與正方形ABCD有一個公共頂點D，G在CB或其延長線上，A在EF所在直線上，又二次函數y=（m-1）x²-（m-2）x-1（m＞0）與x軸的兩個交點P、Q的橫坐標分別為x₁，x₂，且x₁＞0，x₂＞0，正方形ABCD的邊長a等于點P，Q間的距離．
（1）求m的取值范圍；
（2）求a和四邊形DEFG的面積S；
（3）若DEFG的一組鄰邊長分別等于x₁，x₂，并設

CG

CB

=k，求sin∠E和k．
（（2），（3）的結果都用含m的代數式表示）

Answer 1

分析：（1）由于x₁，x₂均為正數因此x₁•x₂＞0，由此可求出m的取值范圍；
（2）可根據拋物線的解析式求出x₁，x₂的值，即可得出PQ的距離即a的值，求四邊形DEFG的面積就要知道底邊和高的值，可過A作CD的垂線設垂足為M，那么不難得出△ADM∽△DGC，由此可證得GD•AM的值正好是正方形邊長的平方，即平行四邊形的面積和正方形的面積相等，由此可求出S的值；
（3）求sin∠E可通過構建直角三角形來解，過D作DN⊥EF于N，那么在直角三角形DEN中，sin∠E=

DN

DE

，而DN可用正方形的面積
除以EF求得，因此∠E的正弦值就等于正方形的面積（即平行四邊形的面積）除以EF與DE的積，正方形的面積已經求得，而DE與
EF的積可在（2）也可得出，據此可求出∠E的正弦值，可根據CG和CB的比例關系，用k表示出CG的長，然后在直角三角形CGD中，用勾股定理即可求出k的值．

解答：解：（1）∵二次函數y=（m-1）x²-（m-2）x-1（m＞0）與x軸的兩個交點，
P、Q的橫坐標分別為x₁，x₂，且x₁＞0，x₂＞0，
∴x₁•x₂=-

1

m-1

＞0，
解得m＜1，
又∵m＞0，
∴0＜m＜1；

（2）令拋物線中y=0，可得0=（m-1）x²-（m-2）x-1，
解得x=1或x=

1

1-m

，
∵0＜m＜1，
∴

1

1-m

＞1，
∴a=

1

1-m

-1=

m

1-m

，
過A作AM⊥GD于M，則有△AMD∽△DCG，
∴

AM

CD

=

AD

DG

，
即AM•GD=a²，
∴S=AM•GD=a²=（

m

1-m

）²=

m2

m2-2m+1

；

（3）過D作DN⊥EF于N，則sin∠E=

DN

DE

，
∵S=EF•DN=a²，
∴DN=

a2

EF

，即sin∠E=

a2

DE•EF

=

( m 1-m )2

1 1-m

=

m2

1-m

，
∵

CG

BC

=k，
∴CG=BC•k=

mk

1-m

，
當DG=1時，在直角三角形CDG中，DG²=DC²+CG²，
即1=(

m

1-m

)2+(

km

1-m

)2，
解得k=

|1-2m|

m

，
當0＜m＜

1

2

時，k=

1-2m

m

，
當

1

2

＜m＜1時，k=

2m-1

m

，
當DG=

1

1-m

時，同理可求得k=

1-m2

m

，
∴k的值為

|1-2m|

m

或

1-m2

m

．

點評：本題考查了平行四邊形和正方形的性質、圖形面積的求法以及二次函數的應用等知識．綜合性強，難度較大．