Question

如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交BC于D，交AC于E，過D點作DF⊥AC于F，有下列結論：
①DE=DC；②DF為⊙O的切線；③劣弧DB=劣弧DE；④AE=2EF
其中正確的是（ ）

A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④

Answer 1

【答案】分析：連接OD，AD，OE，首先由AB是⊙O的直徑，得出AD⊥BC，推出BD=DC，有等腰三角形的性質：三線合一可推出DE=DC；進而得到劣弧DB=劣弧DE；因為0A=OB推出OD是△ABC的中位線，得DF⊥OD，即DF是⊙O的切線；如果AE=2EF，則AE=CE，OE=BC=BD，所以△OBD為等邊三角形，而題目的條件只是等腰三角形，所以AE=2EF不一定成．
解答：解：連接OD，AD，OE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴AD⊥BC；
∵在△ABC中，AB=AC，
∴AD是邊BC上的中線，
∴BD=DC，∠BAD=∠DAC，
∴BD=DE，劣弧DB=劣弧DE故①③正確；
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD是△ABC的中位線，
即：OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切線，故②正確；
假設AE=2EF，
∵∠B=∠C，∠DEC=∠B，
∴∠C=∠DEC，
∵DF⊥AC，
∴EF=CF，
∴AE=CE，
∵AO=BO，
∴OE=BC，
∵OE=OB，
0B=BD=OD，
∴△ODB是等邊三角形，
因為題目的條件只是等腰三角形，所以AE=2EF不一定成了，
∴正確的結論有②③．
故選A．
點評：此題考查的知識點是切線的判定與性質、等腰三角形的性質及圓周角定理，解答此題的關鍵是運用等腰三角形性質及圓周角定理及切線性質作答．