Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與軸的正半軸交于點，與軸交于點，的面積為2，動點從點出發，以每秒1個單位長度的速度在射線上運動，動點從出發，沿軸的正半軸與點同時以相同的速度運動，過作軸交直線于.

(1)求直線的解析式.

(2)當點在線段上運動時，設的面積為，點運動的時間為秒，求與的函數關系式(直接寫出自變量的取值范圍).

(3)過點作軸交直線于，在運動過程中(點不與點重合)，是否存在某一時刻(秒)，使是等腰三角形?若存在，求出時間的值.

Answer 1

【答案】（1）y=x+2；（2）S=t（0≤t≤2）；（3）當t=-2或2時，△MNQ是等腰三角形.

【解析】

（1）根據三角形的面積公式求出OA，確定A的坐標，然后利用待定系數法求解即可；

（2）由等腰直角三角形的性質可得PM，再表示出PQ，然后利用直角三角形的面積公式解答即可；

（3）由題意可以確定t秒時，點M、N、Q的坐標分別為（-2+t，t）、（t，t+2）、（t，0），

再分別求出MN,NQ,MQ;最后分MN=QN，MN=QM，QN=QM三種情況列出方程求解即可.

解：（1）由點B（-2，0），則OB=2

∵S ABO=OB·OA=2

∴OA=2，即A（0.2）

設直線AB的解析式為y=kx+b，則

∴b=2，k=1

∴直線AB的解析式為y=x+2；

（2）∵OA=OB=2，

∴△ABO是等腰直角三角形，

∵點P、Q的速度都是每秒1個單位長度,時間為t

∴PM=PB=OQ=t,PO=2-t

∴PQ=PO+OQ=PO+BP=OB=2，

∴S=S△MPQ=PQ·PM=×2×t=t

∵點P在線段OB上運動

∴0≤t≤2

∴S與的函數關系式為S=t（0≤t≤2）；

（3）存在,理由如下:

由題意可得:t秒時，點M、N、Q的坐標分別為（-2+t，t）、（t，t+2）、（t，0），

則：MN2=4+4=8，MQ2=4+t2，NQ=（t+2）2，

①當MN=MQ時，即：8=4+t2，t=2（負值已舍去），

②當MN=NQ時，同理可得：t=-2（負值已舍去），

③當MQ=NQ時，同理可得：1=0（舍去）

故：當t=2或-2時，△MNQ是等腰三角形.