Question

（2004•荊門）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，D是的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作AC的延長(zhǎng)線的垂線DP，垂足為P．若PD=12，PC=8，求⊙O的半徑R的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：連接BC、OD，相交于點(diǎn)E．因?yàn)镈是弧BC的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理及推論可以知道OD⊥BC，且BE=CE，而AB是直徑，可以推出∠ACB=90°；而已知∠APD=90°，這樣可以推出PD∥BC，然后可以推出PD為⊙O的切線，四邊形PDEC為矩形，再根據(jù)切割線定理求出PA，最后在Rt△ACB中利用勾股定理求出圓的半徑．
解答：解：連接BC、OD，相交于點(diǎn)E；
∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，
∴OD⊥BC，且BE=CE，（2分）
∵∠ACB=∠APD=90°，
∴PD∥BC，
∴OD⊥PD，
∴PD為⊙O的切線；（4分）
∵四邊形PDEC為矩形，
∴PD=CE=12，
∴BC=2CE=24；（6分）
∵PD²=PC•PA，
∴=18，
∴AC=PA-PC=18-8=10；（8分）
∵AB²=AC²+BC²=10²+24²=676，
∴AB=26，
∴⊙O的半徑R=13（10分）．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了垂徑定理，切線的判定定理，切割線定理及勾股定理的綜合運(yùn)用．