Question

如圖，點是半圓的半徑上的動點，作于．點是半圓上位于左側的點，連結交線段于，且．
 
（1）求證：是⊙O的切線．
（2）若⊙O的半徑為，，設．
①求關于的函數關系式．
②當時，求的值．

Answer 1

（1）連接DO，根據垂直的定義可得∠3+∠4=90°，由PD=PE，OD=OB可得∠1=∠2，∠5=∠4，又∠2=∠3可得∠1+∠5=90°，即得∠PDO=90°，從而證得結論；（2）①y=x²+144；②

試題分析：（1）連接DO，根據垂直的定義可得∠3+∠4=90°，由PD=PE，OD=OB可得∠1=∠2，∠5=∠4，又∠2=∠3可得∠1+∠5=90°，即得∠PDO=90°，從而證得結論；
（2）①連接PO，在Rt△PDO中PD²=y，DC=4，則PO²=y+（4）²=y+48，在Rt△PCO中OC="x" PC=8，則可得PO²=x²+（8）²=x²+192 ，所以有y+48=x²+192，從而求得結果；
②當x=時，可得y=147，即可得到PD、PE的長，由PC=8可得EC的長，又OC=X=，OB=4可得CB=3，在Rt△BCE中，根據正切函數的定義求解即可.
（1）連接DO
 
∵PC⊥BA
∴∠PCB=90°
∴∠3+∠4=90°
又∵PD=PE，OD=OB
∴∠1=∠2，∠5=∠4
又∵∠2=∠3
∴∠1+∠5=90°
∴∠PDO=90°
∴PD⊥OD
∴PD是QO切線；
（2）①連接PO

在Rt△PDO中PD²=y，DC=4
∴PO²=y+（4）²="y+48"
在Rt△PCO中OC=x，PC=8
∴PO²=x²+（8）²=x²+192
∴y+48=x²+192
∴y=x²+144
②當x=時，y=147
∴PD==7
∴PE=PD=7 
∵PC=8
∴EC=8-7=
又∵OC=x=，OB=4
∴CB=3 
在Rt△BCE中，tanB===.
點評：圓的綜合題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.