Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A﹣B﹣C運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿C﹣A﹣D運(yùn)動(dòng)，沿C﹣A運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，沿A﹣D運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．連結(jié)PQ、CP．設(shè)△APQ的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．

（1）當(dāng)t＝6時(shí)，求AQ的長(zhǎng)．

（2）當(dāng)點(diǎn)Q沿C﹣A運(yùn)動(dòng)時(shí)，用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)Q到AB、BC的距離．

（3）求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

（4）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，直接寫出△APQ與△CPQ同時(shí)為鈍角三角形時(shí)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）AQ＝3;（2）點(diǎn)Q到AB的距離：;點(diǎn)Q到BC的距離：;（3）見(jiàn)解析;（4）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）如圖1中，畫(huà)出圖形求出AQ即可；

（2）如圖2中，QM⊥AB于M，QN⊥BC于N．則四邊形MBNQ是矩形，可得QM=BN，QN∥AB，推出，可得，由此即可解決問(wèn)題；

（3）分三種情形求解①如圖3中，當(dāng)0＜t≤3時(shí)，②如圖4中，當(dāng)3＜t≤5時(shí)，③如圖5中，當(dāng)5＜t≤時(shí)；

（4）求出三個(gè)特殊位置的t的值即可解決問(wèn)題.

（1）如圖1中，

在Rt△ACB中，AC＝＝＝5，

∴t＝6時(shí)，點(diǎn)Q在AD時(shí)，

AQ＝3（t﹣5）＝3×（6﹣5）＝3．

（2）如圖2中，QM⊥AB于M，QN⊥BC于N．則四邊形MBNQ是矩形，

∴QM＝BN，QN∥AB，

∴，

∴，

∴QN＝t，CN＝t，

∴QM＝BM＝4﹣t．

∴點(diǎn)Q到AB的距離：4-t．

點(diǎn)Q到BC的距離：t；

（3）①如圖3中，當(dāng)0＜t≤3時(shí)，

S＝APQM＝t（4﹣t）＝﹣t2+2t．

②如圖4中，當(dāng)3＜t≤5時(shí)，

S＝S△ABC﹣S△ABP﹣S△QPC＝×3×4﹣×（7﹣t）t﹣（t﹣3）×3＝t2﹣t+．

③如圖5中，當(dāng)5＜t≤時(shí)，

；

（4）如圖6中，

當(dāng)PQ∥BC時(shí)，

∵AP：AB＝AQ：AC，

∴t：3＝（5﹣t）：5，解得t＝，

如圖7中，

當(dāng)PQ∥AB時(shí)，CP：CB＝CQ：CA，

∴（7﹣t）：4＝t：5，解得t＝，

如圖8中，

當(dāng)AQ＝BP時(shí)，3（t﹣5）＝t﹣3，解得t＝6，

∴當(dāng)0＜t＜或＜t＜5或5＜t＜6時(shí)，△APQ與△CPQ同時(shí)為鈍角三角形．