Question

【題目】對于兩個兩位數m和n，將其中任意一個兩位數的十位上的數字和個位上的數字分別放置于另一個兩位數十位上數字與個位上的數字之間和個位上的數字的右邊，就可以得到兩個新四位數，把這兩個新四位數的和與11的商記為F（m，n）。例如：當m=36，n=10時，將m十位上的3放置n中1與0之間，將m個位上的6位置于n中0的右邊，得到1306.將n個十位上的1放置于m中3和6之間，將n個位上的0放置于m中6的右邊，得到3160。這兩個新四位數的和為1306+3160=4466,4466÷11=406，所以F（36，10）=406。

（1）計算：F（20，18）；

（2）若a=10+x，b=10y+8（0≤x≤9,1≤y≤9，x，y都是自然數）。當150 F（a，36）+ F（b，49）=62767時，求F（5a，b）的最大值。

Answer 1

【答案】（1）308（2）1413

【解析】分析：(1)根據定義的規則計算F(20，18)的值；(2)根據規則分別用含x，y的式子表示出150F(a，36)，F(b，49)，根據題中所給等式，得到關于x，y的二元一次方程，結合x，y的取值范圍求x，y的值.

詳解：(1)F(20，18)＝(1280＋2108)÷11＝308.

(2)因為F(a，36)＝(3160＋x＋1300＋10x＋6)÷11＝406＋x，

150F(a，36)＝150(406＋x)＝60900＋150x；

F(b，49)＝(4000＋100y＋98＋1000y＋489)÷11＝417＋100y.

所以60900＋150x＋417＋100y＝62767，整理得，3x＋2y＝29，即y＝.

因為0≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是自然數，

所以當x＝3時，y＝10(舍)；

當x＝5時，y＝7，則5a＝75，b＝78，F(75，78)＝(7758＋7785)÷11＝1413；

當x＝7時，y＝4，則5a＝85，b＝48，F(85，48)＝(8458＋4885)÷11＝1213；

當x＝9時，y＝1，則5a＝95，b＝18，F(95，18)＝(9158＋1985)÷11＝1013.

所以當x＝5時，y＝7，F(5a，b)的最大值F(75，78)＝1413.