Question

【題目】閱讀下面材料，完成相應的任務：

(1)小明在研究命題①時，在圖1的正方形網格中畫出兩個符合條件的四邊形，由此判斷命題①是　 　命題(填“真”或“假”)；

(2)小彬經過探究發現命題②是真命題，請你結合圖2證明這一命題；

(3)小穎經過探究又提出了一個新的命題：“若AB＝A′B′，BC＝B′C′，CD＝C′D'　 　，　 　，則四邊形ABCD≌四邊形A′B′C′D′，請在橫線上填寫兩個關于“角”的條件，使該命題為真命題．

Answer 1

【答案】(1)假；(2)證明見解析；(3)∠B＝∠B′，∠C＝∠C′．

【解析】

（1）連接AC，延長BC到E，過點E作EF∥CD，交AD的延長線于點F，則∠E=∠BCD，∠F=∠ADC，將四邊形ABEF平移得到四邊形A′B′C′D′，則AB=A′B′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′，而BC≠B′C′，AD≠A′D′，得出四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′不全等，即可得出結論；

（2）連接BD，B′D′，證明△ABD≌△A′B′D′，得出BD=B′D′，∠ABD=∠A′B′D′，∠ADB=∠A′D′B′，再證明△BCD≌△B′C′D′，得出∠C=∠C′，∠CBD=∠C′B′D′，∠BDC=∠B′D′C′，證出∠ABC=∠A′B′C′，∠CDA=∠C′D′A′，即可得出結論；

（3）連接AC、A′C′，證明△ABC≌△A′B′C′，得出AC=A′C′，∠BAC=∠B′A′C′，∠BCA=∠B′C′A′，得出∠ACD=∠A′C′D′，再證明△ACD≌△A′C′D′，得出AD=A′D′，∠D=∠D′，∠CAD=∠C′A′D′，證出∠BAD=∠B′A′D′，即可得出結論．

解：(1)連接AC，延長BC到E，過點E作EF∥CD，交AD的延長線于點F，

則∠E＝∠BCD，∠F＝∠ADC，

將四邊形ABEF平移得到四邊形A′B′C′D′，如圖1所示：

則AB＝A′B′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，∠D＝∠D′，

而BC≠B′C′，AD≠A′D′，

∴四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′不全等，

∴命題①是假命題，

故答案為：假；

(2)證明：連接BD，B′D′，如圖2所示：

在△ABD和△A′B′D′中，

∴△ABD≌△A′B′D′(SAS)，

∴BD＝B′D′，∠ABD＝∠A′B′D′，∠ADB＝∠A′D′B′，

在△BCD和△B′C′D′中，

∴△BCD≌△B′C′D′(SSS)，

∴∠C＝∠C′，∠CBD＝∠C′B′D′，∠BDC＝∠B′D′C′，

∵∠ABC＝∠ABD+∠CBD，∠A′B′C′＝∠A′B′D′+∠C′B′D′，∠CDA＝∠ADB+∠BDC，∠C′D′A′＝∠A′D′B′+∠B′D′C′，

∴∠ABC＝∠A′B′C′，∠CDA＝∠C′D′A′，

∴四邊形ABCD≌四邊形A′B′C′D′；

(3)若AB＝A′B′，BC＝B′C′，CD＝C′D'，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，則四邊形ABCD≌四邊形A′B′C′D′；理由如下：

連接AC、A′C′，如圖3所示：

在△ABC和△A′B′C′中，

∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)，

∴AC＝A′C′，∠BAC＝∠B′A′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，

∵∠C＝∠C′，

∴∠ACD＝∠A′C′D′，

在△ACD和△A′C′D′中，

∴△ACD≌△A′C′D′(SAS)，

∴AD＝A′D′，∠D＝∠D′，∠CAD＝∠C′A′D′，

∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD，∠B′A′D′＝∠B′A′C′+∠C′A′D′，

∴∠BAD＝∠B′A′D′，

∴四邊形ABCD≌四邊形A′B′C′D′，

故答案為：∠B＝∠B′，∠C＝∠C′．