Question

9．如圖，拋物線y=ax²+bx+c的圖象與x軸負半軸交于點A（-2，0），頂點D的坐標為（1，-4）
（1）求此拋物線的解析式；
（2）探究對稱軸上是否存在一點P，使得以P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據頂點坐標可設出拋物線的頂點式解析式，把A點坐標代入可求得拋物線解析式；
（2）可設P點坐標為（1，t），則可表示出PA、PD，且可求得AD，分PA=PD、PA=AD和PD=AD三種情況分別得到關于t的方程，可求得t的值，則可求得P點坐標．

解答 解：
（1）∵拋物線頂點坐標為（1，-4），
∴可設拋物線解析式為y=a（x-1）²-4，
∵拋物線與x軸負半軸交于點A（-2，0），
∴0=9a-4，解得a=$\frac{4}{9}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{4}{9}$（x-1）²-4；
（2）∵頂點為D（1，-4），
∴對稱軸為x=1，
∴可設P點坐標為（1，t），
∴PA=$\sqrt{{3}^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{9+{t}^{2}}$，PD=|t+4|，且AD=$\sqrt{（-2-1）^{2}+（0+4）^{2}}$=5，
∵△PAD為等腰三角形，
∴有PA=PD、PA=AD和PD=AD三種情況，
①當PA=PD時，則有$\sqrt{9+{t}^{2}}$=|t+4|，解得t=-$\frac{7}{8}$，此時P點坐標為（1，-$\frac{7}{8}$）；
②當PA=AD時，則有$\sqrt{9+{t}^{2}}$=5，解得t=4或t=-4（與D點重合，舍去），此時P點坐標為（1，4）；
③當PD=AD時，則有|t+4|=5，解得t=1或t=-6，此時P點坐標為（1，1）或（1，-6）；
綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（1，-$\frac{7}{8}$）或（1，4）或（1，1）或（1，-6）．

點評 本題為二次函數的綜合應用，主要涉及待定系數法、勾股定理、等腰三角形的性質、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中注意靈活選擇拋物線解析式的形式，在（2）中用P點坐標表示出PA、PD的長是解題的關鍵，注意分三種情況．本題考查知識點較多，綜合性較強，但難度不大．