Question

將現有一根長為1的鐵絲．
（1）若把它截成四段然后圍成圖1所示的“口”形的矩形框，當矩形框的長a與矩形框的寬b滿足a=

1

b時所圍成的矩形框面積最大．
（2）若把它截成六段，①可以圍成圖2所示的“目”形的矩形框，當矩形框的長a與矩形框的寬b滿足a=

2

b時所圍成的矩形框面積最大； ②可以圍成圖3所示的“田”形矩形框，當矩形框的長a與矩形框的寬b滿足a=

1

b時所圍成的矩形框面積最大．

Answer 1

分析：（1）根據長度為1，可得出a與b的關系式，然后可表示出圖1的面積，利用配方法求最值即可；
（2）根據長度為1，可得出a與b的關系式，然后可表示出圖2、圖3的面積，利用配方法求最值即可；

解答：解：（1）由題意得，2a+2b=1，則b=

1-2a

2

，
此時S=ab=a×

1-2a

2

=-a²+

1

2

a=-（a-

1

4

）²+

1

16

，
當a=

1

4

時，面積S最大，則a=

1

4

，b=

1

4

，
即a=b時，面積最大；
（2）①由題意得，2a+4b=1，則b=

1-2a

4

，
此時S=ab=a×

1-2a

4

=-

1

2

a²+

1

4

a=-

1

2

（a-

1

4

）²+

1

8

，
當a=

1

4

時，面積S最大，則a=

1

4

，b=

1

8

，
即a=2b時，面積最大；
②由題意得，3a+3b=1，則b=

1-3a

3

，
此時S=ab=a×

1-3a

3

=-a²+

1

3

a=-（a-

1

6

）²+

1

36

，
當a=

1

6

時，面積S最大，則a=

1

6

，b=

1

6

，
即a=b時，面積最大．
故答案為：1；2、1．

點評：本題考查了二次函數的應用，解答本題的關鍵是根據鐵絲長度為1得出a與b的關系式，注意掌握配方法求函數的最值，難度一般．