Question

將拋物線c₁：y=沿x軸翻折，得拋物線c₂，如圖所示。
（1）請直接寫出拋物線c₂的表達式；
（2）現將拋物線c₁向左平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A，B；將拋物線c₂向右也平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為N，與x軸交點從左到右依次為D，E。
①當B，D是線段AE的三等分點時，求m的值；
②在平移過程中，是否存在以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）；
（2）①令，得：，
則拋物線c₁與x軸的兩個交點坐標為（-1，0），（1，0），
∴A（-1-m，0），B（1-m，0），
同理可得：D（-1+m，0），E（1+m，0），
當時，如圖①，，
∴，
當時，如圖②，，
∴，
∴當或2時，B，D是線段AE的三等分點；
②存在，
理由：連接AN、NE、EM、MA，
依題意可得：，
即M，N關于原點O對稱，
∴，
∵，
∴A，E關于原點O對稱，
∴，
∴四邊形ANEM為平行四邊形，
要使平行四邊形ANEM為矩形，必需滿足，
即，
∴，
∴當時，以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形。