Question

將拋物線c₁：y=沿x軸翻折，得拋物線c₂，如圖所示.

（1）請直接寫出拋物線c₂的表達式.

（2）現將拋物線c₁向左平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A，B；將拋物線c₂向右也平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為N，與x軸交點從左到右依次為D，E.

①當B，D是線段AE的三等分點時，求m的值；

②在平移過程中，是否存在以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

解：（1）.     

（2）①令，得：，

               則拋物線c₁與軸的兩個交點坐標為（-1,0），（1,0）.

∴A（-1-m，0），B（1-m，0）.

同理可得：D（-1+m，0），E（1+m，0）.

當時，如圖①，

，∴.                    

當時，如圖②，，

 ∴.                 ∴當或2時，B，D是線段AE的三等分點. 

②存在.                                     

方法一

理由：連接AN、NE、EM、MA.依題意可得：.

即M，N關于原點O對稱，  ∴.

∵， ∴A，E關于原點O對稱，   ∴，

∴四邊形ANEM為平行四邊形.                 

要使平行四邊形ANEM為矩形，必需滿足,

即，       ∴.

∴當時，以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形.

方法二

理由：連接AN、NE、EM、MA. 依題意可得：.

即M，N關于原點O對稱，  ∴.

∵， ∴A，E關于原點O對稱，   ∴，

∴四邊形ANEM為平行四邊形.   

∵，

，

，

若，則，∴.

此時△AME是直角三角形，且∠AME=90°.

∴當時，以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形.