Question

將拋物線c₁：y=沿x軸翻折，得到拋物線c₂，如圖所示．
（1）請直接寫出拋物線c₂的表達式；
（2）現將拋物線c₁向左平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A，B；將拋物線c₂向右也平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為N，與x軸的交點從左到右依次為D，E．
①用含m的代數式表示點A和點E的坐標；
②在平移過程中，是否存在以點A，M，E為頂點的三角形是直角三角形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）拋物線c₂的表達式是y=x²-；
（2）①拋物線c₁向左平移m個單位長度，
得到解析式為y=-（x+m）²+，
令y=0，得到-（x+m）²+=0，
解得：x=1-m或x=-1-m，
∴點A的坐標是（-1-m，0），
拋物線c₂向右也平移m個單位長度，得到y=（x-m）²-，
令y=0，得到（x-m）²-=0，
解得：x=m+1或x=m-1，
∴點E的坐標是（1+m，0）；
②假設在平移過程中，存在以點A，M，E為頂點的三角形是直角三角形，
由題意得只能是∠AME=90°，過點M作MG⊥x軸于點G，
由平移得：點M的坐標是（-m，），
∴點G的坐標是（-m，0），
∴GA=1，MG=，EG=2m+1，
在Rt△AGM中，∵tan∠MAG==，
∴∠MAG=60°，
∵∠AME=90°，∴∠MEA=30°，
∴tan∠MEG==，
∴=，
∴m=1，
則在平移過程中，當m=1時，存在以點A，M，E為頂點的三角形是直角三角形．
分析：（1）根據關于x軸對稱點的特點即可得到拋物線c₂的表達式；
（2）①由平移規律得到拋物線c₁向左平移m個單位長度的解析式，拋物線c₂向右也平移m個單位長度的解析式，分別令y=0求出x的值，即可表示出A與E的坐標；
②假設在平移過程中，存在以點A，M，E為頂點的三角形是直角三角形，由題意得只能是∠AME=90°，過點M作MG⊥x軸于點G，由平移得到點M的坐標，確定出G的坐標，進而得到AG，MG，EG的長，在直角三角形AMG中，利用銳角三角函數定義表示出tan∠MAG的值，利用特殊角的三角函數值求出∠MAG的度數為60°，得到∠MEA的度數為30°，在直角三角形MEG中，利用銳角三角函數定義表示出tan∠MEG的值，由MG的長及特殊角的三角函數值求出EG的長，即可確定出此時m的值．
點評：此題屬于二次函數綜合題，涉及的知識有：對稱的性質，平移規律，坐標與圖形性質，銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值，熟練掌握對稱性質及平移規律是解本題的關鍵．