Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，點B的坐標為（1，0）．拋物線y=﹣x2+bx+c經過A、B兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是直線AB上方拋物線上的一點，過點P作PD垂直x軸于點D，交線段AB于點E，使PE=DE．

①求點P的坐標；

②在直線PD上是否存在點M，使△ABM為直角三角形？若存在，求出符合條件的所有點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣3x+4；（2）①P（﹣1，6），②存在，M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，）．

【解析】

（1）先根據已知求點A的坐標，利用待定系數法求二次函數的解析式；
（2）①先得AB的解析式為：y=-2x+2，根據PD⊥x軸，設P（x，-x2-3x+4），則E（x，-2x+2），根據PE=DE，列方程可得P的坐標；
②先設點M的坐標，根據兩點距離公式可得AB，AM，BM的長，分三種情況：△ABM為直角三角形時，分別以A、B、M為直角頂點時，利用勾股定理列方程可得點M的坐標．

解：（1）∵B（1，0），∴OB=1，

∵OC=2OB=2，∴C（﹣2，0），

Rt△ABC中，tan∠ABC=2，

∴， ∴， ∴AC=6，

∴A（﹣2，6），

把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c得：，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣3x+4；

（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），

∴AB的解析式為：y=﹣2x+2，

設P（x，﹣x2﹣3x+4），則E（x，﹣2x+2），

∵PE=DE，

∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=（﹣2x+2），

∴x=-1或1（舍），

∴P（﹣1，6）；

②∵M在直線PD上，且P（﹣1，6），

設M（﹣1，y），

∵B（1，0），A（﹣2，6）

∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，

BM2=（1+1）2+y2=4+y2，

AB2=（1+2）2+62=45，

分三種情況：

i）當∠AMB=90°時，有AM2+BM2=AB2，

∴1+（y﹣6）2+4+y2=45，

解得：y=3，

∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）；

ii）當∠ABM=90°時，有AB2+BM2=AM2，

∴45+4+y2=1+（y﹣6）2， ∴y=﹣1，

∴M（﹣1，﹣1），

iii）當∠BAM=90°時，有AM2+AB2=BM2，

∴1+（y﹣6）2+45=4+y2， ∴y=，

∴M（﹣1，）；

綜上所述，點M的坐標為：∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，）．