Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，點M為射線AE上任意一點（不與A重合），連接CM，將線段CM繞點C按順時針方向旋轉90°得到線段CN，直線NB分別交直線CM、射線AE于點F、D．

（1）直接寫出∠NDE的度數.
（2）如圖2、圖3，當∠EAC為銳角或鈍角時，其他條件不變，（1）中的結論是否發生變化？如果不變，選取其中一種情況加以證明；如果變化，請說明理由.

（3）如圖4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直線CM與AB交于G，BD=，其他條件不變，求線段AM的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠ACB=90°，∠MCN=90°，

∴∠ACM=∠BCN，

在△MAC和△NBC中，

，

∴△MAC≌△NBC，

∴∠NBC=∠MAC=90°，

又∵∠ACB=90°，∠EAC=90°，

∴∠NDE=90°

（2）

解：不變，

在△MAC≌△NBC中，

，

∴△MAC≌△NBC，

∴∠N=∠AMC，

又∵∠MFD=∠NFC，

∠MDF=∠FCN=90°，即∠NDE=90°

（3）

解：作GK⊥BC于K，

∵∠EAC=15°，

∴∠BAD=30°，

∵∠ACM=60°，

∴∠GCB=30°，

∴∠AGC=∠ABC+∠GCB=75°，

∠AMG=75°，

∴AM=AG，

∵△MAC≌△NBC，

∴∠MAC=∠NBC，

∴∠BDA=∠BCA=90°，

∵BD=，

∴AB=+，

AC=BC=+1，

設BK=a，則GK=a，CK=a，

∴a+a=+1，

∴a=1，

∴KB=KG=1，BG=，

AG=，

∴AM=．

【解析】（1）根據題意證明△MAC≌△NBC即可；
（2）與（1）的證明方法相似，證明△MAC≌△NBC即可；
（3）作GK⊥BC于K，證明AM=AG，根據△MAC≌△NBC，得到∠BDA=90°，根據直角三角形的性質和已知條件求出AG的長，得到答案．