Question

已知點E是正方形ABCD中的CD的中點，F是邊AD上一點，連接FE并延長交BC延長線于點G，AB=6．
（1）求證：CG=DF；
（2）連接BF，若BF＞GF，試求AF的范圍．

Answer 1

（1）證明：∵E是CD的中點，
∴DE=CE，
在正方形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，
在△DEF和△CEG中，，
∴△DEF≌△CEG（ASA），
∴CG=DF；

（2）解：過點F作FH⊥BC于H，
則四邊形ABHF和四邊形CDFH都是矩形，
∴DF=HC，AF=BH，
∴GH=2DF，
設AF=x，則DF=6-x，
GH=2（6-x），
∵BF＞GF，
∴AF＞GH，
∴x＞2（6-x），
解得x＞4，
又∵點F在AD上，
∴x＜6，
∴4＜x＜6．
分析：（1）根據中點定義可得DE=CE，根據正方形的四個角都是直角可得∠BCD=∠D=90°，然后利用“角邊角”證明△DEF和△CEG全等，根據全等三角形對應邊相等可得CG=DF；
（2）過點F作FH⊥BC于H，可得GH=2DF，設AF=x，表示出DF，再表示出GH，然后根據BF＞GF得到AF＞GH，列出方程求出x的取值范圍，再根據點F在AD上可知AF＜AD，從而得解．
點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，（1）熟記正方形的性質找出三角形全等的條件是解題的關鍵，（2）作輔助線構造出兩個矩形并盤淡出AF＞GH是解題的關鍵．