Question

采用如圖所示的方法，可以把梯形ABCD折疊成一個矩形EFNM（圖中EF，FN，EM為折痕），使得點A與B、C與D分別重合于一點．請問，線段EF的位置如何確定；通過這種圖形變化，你能看出哪些定理或公式（至少三個）？證明你的所有結論．

Answer 1

解：可以看出梯形的中位線定理、面積公式、平行線的性質定理等．
（1）梯形中位線定理的證明：
已知：梯形ABCD，E、F分別AB、CD的中點．求證：EF=（AD+BC），AD∥EF∥BC．
證明：如圖把梯形ABCD折疊成一個矩形EFNM（圖中EF，FN，EM為折痕），使得點A與B、C與D分別重合于一點，
∴EF=NM．
即：EF=NM=BC-（BM+CN）=BC-（EF-AD），
∴EF=（AD+BC）．
∵四邊形EFNM是矩形，
∴EF∥BC，
∵AD∥BC，
∴AD∥EF∥BC．

（2）面積公式：
S_梯形ABCD=2S_矩形EFNM=2EF•EN=（AD+BC）•2EN，
∵梯形的高等于2EN，
∴梯形的面積為：上底加下底乘以高再除以2．

（3）∵∠EBC+∠EBM=180°，∠B=∠EBM，∠A=∠EBC，
∴∠A+∠B=180°；
∴兩直線平行，同旁內角互補．
分析：此題為開放題，答案不唯一．注意根據題目中的折疊方法，可知EF是梯形的中位線、AD∥EF∥BC等．則可得到有關的定理公式，如：梯形的面積公式，平行線的性質定理，梯形中位線定理等．
點評：此題考查了折疊問題，解題的關鍵是掌握重合部分是全等形，即對應角相等，對應邊相等．此題還考查了梯形中位線的證明，要注意仔細試圖．