Question

為了測量一個圓形鐵環的半徑，小華采用了如下方法：將鐵環平放在水平桌面上，用一個銳角為30°的直角三角板和一個刻度尺，按如圖所示的方法得到有關數據，進而求得鐵環的半徑，若測得AB=10cm，則鐵環的半徑是

10

3

cm

．

Answer 1

分析：由鐵環與桌面及AE邊相切，根據切線的性質得到OB與AB垂直，OC與AC垂直，再由AB與AC都為圓O的切線，根據切線長定理得到OA為角平分線，可得出∠AOB=∠AOC，再由一對直角相等，根據三角形的內角和定理得出∠OAB=∠OAC，由直角三角形AED中∠E=30°，根據直角三角形的兩銳角互余得到求出∠EAD的度數，進而得出鄰補角∠BAC的度數，確定出∠OAB的度數，在直角三角形OAB中，由AB的長及tan∠OAB的值，利用銳角三角函數定義求出OB的長，即為圓O的半徑．

解答：解：如圖所示：連接OB，OC，OA，

∵AB為圓O的切線，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，
又AC為圓O的切線，
∴OC⊥AC，即∠OCA=90°，
在Rt△ADE中，∠E=30°，∠ADE=90°，
∴∠EAD=60°，∠BAC=120°，
∵AC及AB為圓O的切線，
∴OA為∠BOC的平分線，即∠BOA=∠COA，
又∠OBA=∠OCA=90°，
∴∠OAB=∠OAC=

1

2

∠BAC=60°，
在Rt△OBA中，∠OBA=90°，∠OAB=60°，AB=10cm，
∴tan60°=

OB

AB

，即

3

=

OB

10

，
則圓的半徑OB=10

3

cm．
故答案為：10

3

cm

點評：此題考查了切線的性質，切線長定理，銳角三角函數定義，以及三角形的內角和定理，是一道與實際生活密切相關的題型，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．