Question

為了測量一個圓形鐵環的半徑，某同學采用了如下辦法：將鐵環平放在水平桌面上，用一個銳角為30°的三角板和一個刻度尺，按如圖所示的方法得到相關數據，進而可求得鐵環的半徑，若三角板與圓相切且測得PA=5cm，求鐵環的半徑．

Answer 1

分析：欲求半徑OP，取圓的圓心為O，連OA，OP，由切線性質知△OPA為直角三角形，從而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半徑．

解答：解：過O作OQ⊥AB于Q
設鐵環的圓心為O，連接OP、OA，（1分）
∵AP為⊙O的切線，AQ也為⊙O的切線，
∴AO為∠PAQ的平分線，即∠PAO=∠QAO，
又∠BAC=60°，∠PAO+∠QAO+∠BAC=180°，
∴∠PAO=∠QAO=60°，
在Rt△OPA中，PA=5，∠POA=30°，（5分）
∴OP=5

3

（cm），
即鐵環的半徑為5

3

cm．（7分）

點評：本題考查了圓的切線性質，及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．