Question

已知：abc=1，求

a

ab+a+1

+

b

bc+b+1

+

c

ac+c+1

的值．

Answer 1

分析：解決本題的關鍵是根據abc=1的條件，將所求的代數式通分，然后進行分式的加減運算．

b

bc+b+1

=

ab

abc+ab+a

，將abc=1代入后，可得：

a

bc+b+1

=

ab

ab+a+1

；
同理，可知：

c

ac+c+1

=

abc

a2bc+abc+ab

=

1

ab+a+1

；由此，三個分式的分母都化成了ab+a+1，然后根據分式的加減法運算規則進行計算即可．

解答：解：∵abc=1，
∴原式=

a

ab+a+1

+

ab

abc+ba+a

+

abc

a2bc+abc+ab

=

a

ab+a+1

+

ab

ab+a+1

+

1

ab+a+1

=

ab+a+1

ab+a+1

=1．

點評：分式中的一些特殊求值題并非是一味的化簡，代入，求值．許多問題還需運用到常見的數學思想，如化歸思想（即轉化）、整體思想等，了解這些數學解題思想對于解題技巧的豐富與提高有一定幫助．就本節內容而言，分式求值題中比較多的題型主要有三種：轉化已知條件后整體代入求值；轉化所求問題后將條件整體代入求值；既要轉化條件，也要轉化問題，然后再代入求值．