Question

如圖，AB∥CD，∠ACB=∠BDC=Rt∠，CE⊥AB于點E，DF⊥CB于點F．
（1）求證：△ABC∽△BCD；
（2）已知tan∠ABC=2，求

DF

CE

的值．

Answer 1

分析：（1）先由平行線的性質得出∠ABC=∠BCD，再根據兩角對應相等的兩三角形相似證明△ABC∽△BCD；
（2）先由tan∠ABC=2，在直角△ABC中根據正切函數的定義設AC=2k，則BC=k，根據勾股定理求出AB=

5

k，再由△ABC∽△BCD，根據相似三角形對應角相等得出∠BAC=∠CBD，則sin∠BAC=sin∠CBD，然后根據CE=BD及正弦函數的定義列出比例式，即可求出

DF

CE

的值．

解答：（1）證明：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD，
又∵∠ACB=∠BDC=Rt∠，
∴△ABC∽△BCD；

（2）解：∵tan∠ABC=2，
∴可設AC=2k，則BC=k．
∵∠ACB=Rt∠，
∴AB²=AC²+BC²=5k²，
∴AB=

5

k．
∵△ABC∽△BCD，
∴∠BAC=∠CBD，∠ACB=∠BDC=90°，
∴sin∠BAC=sin∠CBD，
∵CE⊥AB于點E，DF⊥CB于點F，
∴

DF

CE

=

DF

BD

=

BC

AB

=

k

5 k

=

5

5

．

點評：本題考查了平行線的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，三角函數的定義，難度適中，證明出△ABC∽△BCD是解題的關鍵．