Question

設實數a，b，c滿足：

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

a+b+c

，求證：

1

a2n-1

+

1

b2n-1

+

1

c2n-1

=

1

a2n-1+b2n-1+c2n-1

.

Answer 1

分析：直接通分，將分式等式轉化為整式等式，再因式分解得到（b+c）（a+b）（a+c）=0，可知其中至少有一個因式為0．

解答：證明：∵

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

a+b+c

∴

ac+bc+ab

abc

=

1

a+b+c

bc（a+b+c）+ac（a+b+c）+ab（a+b+c）=abc
∴（b+c）a²+（2bc+c²+b²）a+bc²+b²c=0
即（b+c）a²+（b+c）²a+（b+c）bc=0
（b+c）（a²+ab+ac+bc）=0
∴（b+c）（a+b）（a+c）=0
∴b=-c或a=-b或a=-c
若b=-c，當n為自然數時，2n-1為奇數，b^2n-1+c^2n-1=0，且

1

b2n-1

+

1

c2n-1

=0，即命題得證．
同理：當a=-b，或a=-c時，原命題成立．

點評：本題考查了分式加減運算的運用，先通分，去分母，將分式等式轉化為整式等式，再運用因式分解的知識解題．