Question

設實數x，y，z滿足x+y+z=0，且（x-y）²+（y-z）²+（z-x）²≤2，求x的最大值和最小值．

Answer 1

分析：首先把x+y+z=0變為z=-x-y，然后代入（x-y）²+（y-z）²+（z-x）²≤2中，化簡為3y²+3xy+3x²-1≤0，可以看作關于y的不等式，然后利用判別式即可解決問題．

解答：解：∵實數x，y，z滿足x+y+z=0，
∴z=-x-y，
將z=-x-y代入（x-y）²+（y-z）²+（z-x）²≤2中，
化簡得3y²+3xy+3x²-1≤0，
∵x，y，z為實數，
∴△=9x²-12（3x²-1）≥0，
∴-

2

3

≤x≤

2

3

，
當xmax=

2

3

，此時y=z=-

1

3

，
當xmin=-

2

3

，此時y=z=

1

3

．
∴x的最大值和最小值分別為

2

3

和-

2

3

．

點評：此題主要考查了一元二次不等式的應用，解題的關鍵是把已知不等式變為關于某一個未知數的不等式，然后利用判別式即可解決問題．